2、数理逻辑基础：命题、证明与数列性质

数理逻辑基础：命题、证明与数列性质

1. 命题的判断与逻辑等价

1.1 命题的定义与判断

命题是具有明确真假值的陈述语句。以下是一些判断命题的示例：
- “Pascal语言属于高级编程语言”，这是一个明确为真的命题。
- “喝胡萝卜汁！” 这是一个祈使句，不是命题。
- “火星上有生命吗？” 这是一个疑问句，不是命题。
- “第一台计算机出现在18世纪”，需要依据事实判断真假，是命题。

1.2 逻辑等价关系

逻辑等价是指两个命题在所有可能的情况下都具有相同的真假值。常见的逻辑等价关系有De Morgan定律：
- $\neg (A \land B) \Leftrightarrow (\neg A) \lor (\neg B)$
- $\neg (A \lor B) \Leftrightarrow (\neg A) \land (\neg B)$

还可以将其推广到任意数量的原子命题 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的情况。

1.3 命题的逻辑表达

可以使用逻辑运算符来表达复杂的命题。例如：
- “在三个命题 $A$、$B$ 和 $C$ 中，恰好有一个为真” 可以表示为 $(A \land \neg B \land \neg C) \lor (\neg A \land B \land \neg C) \lor (\neg A \land \neg B \land C)$。
- “在三个命题 $A$、$B$ 和 $C$ 中，至少有一个为真” 可以表示为 $A \lor B \lor C$。