45、间隙测量与降阶建模中的算法解析

间隙测量与降阶建模中的算法解析

1. 间隙传感器定位算法

在间隙测量中，确定传感器的位置至关重要。之前通过选择传感器位置来最小化条件数的方法虽然能快速提高精度和减少最小二乘重建误差，但存在两个明显缺点。一是算法实现成本高，需要对每个选定的传感器位置进行条件数计算的穷举搜索；二是在 r - POD 模式展开中，直到选择第 r 个传感器之前，算法都是病态的，理论上条件数为无穷大，实际计算中约为 10¹⁷。

为解决这些计算问题，Karniadakis 及其同事提出了一种替代算法。该算法在迭代的第一步就为 r - POD 模式展开放置 r 个传感器，避免了生成病态矩阵。具体步骤如下：
1. 初始放置 r 个传感器。
2. 通过考虑每个 POD 模式 ψk 的最大值来确定这 r 个传感器的空间位置。
3. 在 POD 模式的下一个最大极值处添加额外的传感器。

为评估这个新的间隙传感器定位算法，我们跟踪试图最大化的新代理指标以及测试函数的最小二乘误差。在这个例子中，考虑最多 60 个传感器，因为收敛速度比之前的方法慢。随着传感器的添加，对角线之和减去非对角线之和的度量稳步增加，但测试函数重建的最小二乘误差虽有下降趋势，但收敛非常缓慢。与最小化条件数的算法相比，该算法在局部位置开启传感器，而不是从整个域均匀采样。

此外，Karniadakis 算法还建议从 M 个潜在极值中随机选择 p 个传感器，然后修改搜索位置以改善条件数。例如，在一个有 55 个可能极值的例子中，如果需要 20 个间隙测量，直接进行组合搜索是不可行的，但进行 100 次随机试验并选择性能最佳的配置，其性能接近最小化条件数的算法，且计算成本显著降低。

2