25、非线性动力学的稀疏识别算法：原理、应用与拓展

非线性动力学的稀疏识别算法：原理、应用与拓展

1. 引言

在数学物理领域，从数据中发现动力系统模型是一项核心挑战。传统上，这一过程依赖高质量的测量和专家直觉。如今，随着数据量的剧增和计算能力的提升，自动发现控制方程和动力系统成为了一种令人兴奋的科学范式。

2. 稀疏识别非线性动力学（SINDy）算法

2.1 算法背景

许多动力系统的右侧函数空间中，只有少数活跃项。例如，洛伦兹方程每个方程中只有几个线性和二次交互项。SINDy算法利用这一特性，绕过了对所有可能模型结构的组合搜索。

2.2 算法步骤

1. 数据收集与矩阵构建
   • 从动力系统 $\frac{d}{dt}x = f(x)$ 收集时间序列数据，形成数据矩阵 $X = [x(t_1), x(t_2), \cdots, x(t_m)]^T$。
   • 构建相应的导数矩阵 $\dot{X} = [\dot{x}(t_1), \dot{x}(t_2), \cdots, \dot{x}(t_m)]^T$。对于噪声数据，总变差正则化导数能提供数值稳健的导数。
2. 候选非线性函数库构建
   从数据矩阵 $X$ 构建候选非线性函数库 $\Theta(X) = [1, X, X^2, \cdots, X^d, \cdots, \sin(X), \cdots]$，其中 $X^d$ 表示由状态 $x$ 的 $d$ 次多项式的所有可能时间序列构成的矩阵。