10、二维变换与图像、音频处理：从基础原理到实际应用

二维变换与图像、音频处理：从基础原理到实际应用

1. 一维变换拓展至二维变换

在信号处理领域，傅里叶变换和小波变换最初是在一维信号上进行分析的，但它们能够轻松推广到更高的空间维度，如二维和三维信号。这两种变换在图像处理和压缩方面产生了巨大的影响，为研究高维变换提供了极具说服力的实例。

2. 二维傅里叶变换在图像中的应用

二维傅里叶变换是对数据矩阵进行处理的重要方法。对于一个矩阵数据 (X \in R^{n×m})，其二维傅里叶变换的实现步骤如下：
- 首先对矩阵的每一行应用一维傅里叶变换。
- 然后对中间矩阵的每一列应用一维傅里叶变换。

这种按行和按列顺序进行的傅里叶变换，顺序的交换不会改变最终结果。以下是在MATLAB和Python中计算二维快速傅里叶变换（FFT）及其逆变换的代码示例：

MATLAB代码 ：

>> fhat = fft2(f); % 2D FFT
>> f = ifft2(fhat); % 2D Inverse FFT

Python代码 ：

>>> fhat = np.fft.fft2(f); # 2D FFT
>>> f = np.fft.ifft2(fhat); # 2D Inverse FFT

二维FFT在图像压缩方面非常