9、矩阵特征值、特征向量与Cholesky分解

矩阵特征值、特征向量与Cholesky分解

1. 特征值与特征向量基础

1.1 定义与基本概念

在研究矩阵及其线性映射时，特征值和特征向量是重要的概念。对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，若存在实数 $\lambda$ 和非零向量 $x\in R^n$ 满足 $Ax = \lambda x$，则 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，$x$ 称为对应的特征向量，此方程被称为特征值方程。

以下几个表述是等价的：
- $\lambda$ 是矩阵 $A\in R^{n\times n}$ 的特征值。
- 存在非零向量 $x\in R^n$ 使得 $Ax = \lambda x$，等价于 $(A - \lambda I_n)x = 0$ 有非零解。
- 矩阵 $A - \lambda I_n$ 的秩小于 $n$。
- $\det(A - \lambda I_n) = 0$。

1.2 特征值与特征向量性质

• 特征值与特征多项式 ：$\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值当且仅当 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式 $p_A(\lambda)$ 的根。
• 代数重数 ：矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ 的代数重数是指该根在特征多项式中出现的次数。
• 特征空间与特征谱 ：对于矩阵 $A\in R^{n\times n}$，与特征值 $\lambda$ 对应的所有特征向量张成的子空间称为矩