5、线性代数：向量空间、线性映射与基变换

线性代数：向量空间、线性映射与基变换

1. 向量的线性相关性与基

1.1 线性相关性

线性相关性是线性代数中的重要概念。通过求解线性方程组，可以判断向量是否线性相关。例如，对于系数矩阵
[
A =
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 2 & 17 \
-2 & -2 & 3 & -10 \
1 & 0 & -1 & 11 \
-1 & 4 & -3 & 1
\end{bmatrix}
]
其对应的线性方程组的简化行阶梯形为
[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -7 \
0 & 1 & 0 & -15 \
0 & 0 & 1 & -18 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
由于最后一列不是主元列，且 (x_4 = -7x_1 - 15x_2 - 18x_3)，所以 (x_1, \cdots, x_4) 是线性相关的，因为 (x_4) 可以表示为 (x_1, \cdots, x_3) 的线性组合。

1.2 生成集与基

• 生成集 ：在向量空间 (V) 中，如果集合 (A = {x_1, \cdots, x_k} \subseteq V) 使得任意向量 (v \in V)