7、MATLAB 线性代数：特征值分解与应用

MATLAB 线性代数：特征值分解与应用

1. 矩阵对角化与特征值分解

矩阵对角化指的是对具有 $n$ 个不同特征值的矩阵 $A$ 进行特征值分解，因为特征值分解会得到一个对角矩阵 $\Lambda$。当矩阵 $A$ 秩亏时，它的一个特征值为零。零特征值的行为与其他特征值相同，会有一个与之关联的特征向量。由于 $(A - \lambda I) = A$，对应的特征向量 $c$ 位于 $A$ 的零空间中。

例如，考虑矩阵

A = [1 2; 2 4]

它是一个秩亏矩阵，两个特征值为 $\lambda_1 = 0$ 和 $\lambda_2 = 5$，对应的特征向量分别为

c1 = [-2; 1]
c2 = [1; 2]

其中对应于 $\lambda_1 = 0$ 的第一个特征向量 $c_1$ 位于 $A$ 的零空间中。这些信息可以使用 eig 命令获得，读者可以验证以下对角形式是有效的：

[1 2; 2 4] * [-2 1; 1 2] = [-2 1; 1 2] * [0 0; 0 5]

当特征值以复共轭对形式存在时，上述结果同样有效。

2. 特征值分解的应用

特征值分解是线性动力系统分析的基石，它在微分方程