19、网络分数阶系统协调算法的稳定性分析

网络分数阶系统协调算法的稳定性分析

1. 网络分数阶系统基础

在网络分数阶系统中，设 $\lambda_i$ 为矩阵 $L$ 的第 $i$ 个特征值，有 $\arg(\lambda_i) \in [-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{n}, \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n}]$（对于所有 $\lambda_i \neq 0$），这意味着 $\chi \geq 1 + \frac{2}{n}$。当团队中有大量智能体时，若 $\alpha$ 足够小，则能确保协调。当 $n \to \infty$ 时，$\alpha \in (0, 1]$，这表明对于阶数 $\alpha \in (0, 1]$ 的分数阶系统，团队中智能体的数量 $n$ 不影响协调的实现。

2. 有向切换交互

假设邻接矩阵 $A(t)$ 在 $t \in [t_k, t_{k + 1})$ 时为常数，并在 $t_{k + 1}$ 时刻切换（$k = 0, 1, \cdots$），且 $t_0 = 0$。用 $G_k$ 和 $A_k$ 分别表示 $t \in [t_k, t_{k + 1})$ 时与 $n$ 个智能体相关的有向图和邻接矩阵，同时假设 $t_{k + 1} - t_k \geq t_L$（$t_L$ 为正常数），且 $A_k$ 的每个非零（即正）元素有下界 $a$ 和上界 $\bar{a}$（$a$ 和 $\bar{a}$ 为正常数）。此时，系统方程变为：
$\tilde{x}^{(\alpha)}(t) = -L_k\tilde{x}(t), t \in [t_k, t_{k + 1})$
其中 $L_k \in R^{n \times