7、并发控制系统分析：Petri网状态方程、不变量与并发分析

并发控制系统分析：Petri网状态方程、不变量与并发分析

1. 状态方程与位置不变量

Petri网的动态行为可以用一组代数方程来表示，在这种方法中，网由矩阵表示，通过求解线性方程可以得到特定的标记。

1.1 关联矩阵

对于一个具有 (n) 个位置（places）和 (m) 个变迁（transitions）的Petri网 (PN = (P, T, F, M_0))，其关联矩阵 (A_{m×n}) 定义如下：
[
a_{ij} =
\begin{cases}
-1, & (p_i, t_j) \in F \
1, & (t_j, p_i) \in F \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
矩阵 (A) 的元素 (a_{ij}) 与位置 (p_i) 和变迁 (t_j) 相关联。矩阵的列对应位置，行对应变迁。

例如，对于Petri网 (PN_1)，其关联矩阵 (A_{PN_1}) 如下：
[
A_{PN_1} =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \
1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
]

从关联矩阵可以看出，第 (i) 行表示变迁 (i) 的输入和输出位置，第