12、码的重量与距离枚举：从基础理论到性能分析与边界证明

码的重量与距离枚举：从基础理论到性能分析与边界证明

1. 基础定义与定理

在码的研究中，重量和距离枚举器起着关键作用，它们能够记录码的重量和距离信息，通过对这些信息的分析，可以揭示码的各种性质。下面是一些基础定义：
- 重量枚举器 ：设码 $C \subseteq F^n$（$F$ 为一个域），其中重量为 $i$ 的码字有 $c_i$ 个，$i = 1, \cdots, n$。则重量枚举器定义为：
[W_C(z) = \sum_{c \in C} z^{w_H(c)} = \sum_{i = 0}^{n} c_i z^i \in \mathbb{Z}[z]]
- 齐次重量枚举器 ：齐次重量枚举器定义为：
[W_C(x, y) = x^n W_C(y/x) = \sum_{i = 0}^{n} c_i x^{n - i} y^i \in \mathbb{Z}[x, y]]
当字母表允许加法运算时，这些定义都是有意义的，例如 $F = \mathbb{Z} s$。
- 距离枚举器 ：码 $A$ 的距离枚举器定义为：
[W_A(z) = |A|^{-1} \sum {c, d \in A} z^{d_H(c, d)} \in \mathbb{Q}[z]]
这个定义适用于任何字母表。当码 $A$ 是线性码时，其距离枚举器等于重量枚举器。

在这些定义的基础上，有两个重要的定理：
- MacWilliams 定理 ：设 $C$ 是 $F_s$ 上的 $