6、汉明码及其相关编码技术详解

汉明码及其相关编码技术详解

1. 汉明码的起源与基础

1.1 起源

在20世纪40年代末，Claude Shannon正在发展信息论和编码作为通信的数学模型。与此同时，Richard Hamming在计算机工作中发现了纠错的需求。当时基于继电器的计算机使用奇偶校验来检测计算中的错误，Hamming意识到更复杂的奇偶校验模式可以实现单错误纠正和双错误检测。他设计的单错误纠正二进制汉明码及其扩展版本标志着编码理论的开端，这些代码至今仍因理论、实践和历史原因而重要。

1.2 二进制汉明码基础

1.2.1 基本定义与构造

以描述[7, 4]汉明码的校验矩阵$L_3$为例：
[
L_3 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
其每列包含了$F_2^3$中每个非零三元组恰好一次。由此可证明[7, 4]汉明码的最小距离为3。对于任意的$r$，构造一个二进制$r\times(2^r - 1)$矩阵$H$，使得每个非零二进制$r$ - 元组作为$H$的列恰好出现一次。任何具有这样校验矩阵$H$的码都是冗余度为$r$的二进制汉明码，记为$Ham_r(2)$，所以[7, 4]码是$Ham_3(2)$。每个二进制汉明码的最小重量和距离