5、线性码的编码、解码与纠错技术解析

线性码的编码、解码与纠错技术解析

1. 编码与信息

在使用域 (F) 上的 ([n, k]) 线性码进行传输时，我们将消息视为来自 (F) 的 (k) 元组，即空间 (F^k) 的成员。可以使用生成矩阵 (G) 进行编码，将消息 (k) 元组 (x) 映射到码字 (xG)。由于矩阵分块乘法，(xG) 是 (G) 的行的线性组合（系数由 (x) 给出），且 (C = RS(G))，所以 (xG) 是一个码字。

生成矩阵 (G) 有不同的类型：
- 标准生成矩阵 ：若 (k×n) 生成矩阵 (G) 的前 (k) 列构成一个 (k×k) 单位矩阵，则称 (G) 为标准生成矩阵。
- 系统生成矩阵 ：若 (G) 的列中能找到 (k×k) 单位矩阵的列，则称 (G) 是系统的，此时称 (G) 在这些列或位置上是系统的。标准生成矩阵是系统生成矩阵的一种特殊类型。

线性码的坐标位置的一个子集若存在一个生成矩阵在这些位置的列上是系统的，则称该子集为信息集。信息集的位置携带信息，其余位置提供冗余。一个给定的码可能有多个不同的信息集，选择一个信息集本质上是为了编码目的选择相应的系统生成矩阵。

以下是一些示例：
| 码类型 | 生成矩阵特点 | 信息集情况 |
| ---- | ---- | ---- |
| 重复码 | 生成矩阵是标准的 | 任何坐标位置都可作为信息集 |
| 奇偶校验码 | 第一个生成矩阵是标准的，([7, 6]) 奇偶校验码的第一个额外生成矩阵是系统但非标准的，第二个既不是系统的也不是标准的 | 每一组 6 个坐标位置都是信息