16、扩散数学与胎盘氧扩散的物理机制

扩散数学与胎盘氧扩散的物理机制

1. 扩散的数学原理

1.1 扩散方程推导

在扩散过程中，我们有公式 (SJ = \frac{dm}{dt} = V\frac{dc}{dt})，这是因为浓度是单位体积的质量。将相关公式乘以 (S) 并利用此关系，我们得到 (V\frac{dc}{dt} = S\frac{\sigma D}{h}(C - c))，进一步化简为 (\frac{dc}{dt} = k(C - c))，其中 (k = \frac{S\sigma D}{Vh}) 是一个常数。通过积分求解该方程，得到 (c = C - c_0e^{-kt})，这里 (c_0) 是膜内的初始浓度。这表明内部浓度会呈指数渐近于环境浓度。

1.2 实验与练习

1.2.1 粒子随机游走模拟

我们可以使用计算机系统的内置随机数生成器来模拟粒子的随机运动，而不是给出粒子在 40 步后位置的理论分布。以下是使用 MAPLE 和 MATLAB 进行模拟的代码：

MAPLE 代码 ：

with(stats): with(plots):
for i from 1 to 100 do
    count[i]:=0; 
od: # 初始化计数器
N:=rand(0..1): # 随机整数 0/1
particles:=500; steps:=40;
for m from 1 to particles do
    place:=sum('2*N(p)-1','p'=1..steps)+steps:
    count[pla