44、双向有限自动机与进化处理器网络决策研究

双向有限自动机与进化处理器网络决策研究

1. 双向有限自动机（2DFA）到单向有限自动机（1DFA）的转换

在研究 2DFA 到 1DFA 的转换时，我们关注状态数量的上下界。对于给定的 (n \geq 3)，设 (k \geq 1)，(\ell \geq 1)，并且 (p_1, \ldots, p_k \geq 2) 是不同素数的幂，满足 (p_1 + \cdots + p_k + (\ell - 1) = n) 且 (G(n + 1 - \ell) = p_1 \cdots p_k = p)。

通过构造一个 ((n + 1)) 状态的 2DFA 来识别像 (a^{p + \ell - 1}(a^p)^ ) 这样的语言，可以直接得到 2DFA 到 1DFA 转换的一个下界 (\max_{1 \leq \ell \leq n + 1} G(n + 1 - \ell) + \ell - 1)。为了说明需要额外的一个状态，我们可以考虑语言 (L_n = a^{p + \ell - 1}(a^p)^ \cup { a^i | i \equiv \ell \pmod{p_k} \text{ 且 } i \equiv \ell - 1 \pmod{p_1 \cdots p_{k - 1}} })。这个语言可以由一个 (n) 状态的 2DFA 非平凡地识别，而任何识别该语言的 1DFA 显然需要 (p + \ell) 个状态。

下面我们用表格来总结相关信息：
| 条件 | 表达式 |
| ---- | ---- |
| (n) 的范围 | (n \geq 3) |
| (k) 和 (\ell) 的范围 | (k \geq 1)，(