36、正则表达式与图可达性问题研究

正则表达式与图可达性问题研究

1. 正则表达式的 Chop 操作与 Chop - Star 问题

正则表达式（REs）的 Chop 操作是一个重要的研究方向。对于两个正则表达式 (s) 和 (t)，设 (r = s⊙t)，存在两个正则表达式 (s_a) 和 (a_t) 分别描述语言 (L(s)a^{-1}) 和 (a^{-1}L(t))，并且有 (L(r) = \bigcup_{a\in\Sigma} (L(s_a) \cdot a) \cdot L(a_t))。根据定理 16，(s_a) 和 (a_t) 都是多项式规模的，所以正则表达式的 Chop 操作问题的上界为 (|\Sigma| \cdot O(n^2))。

1.1 Chop - Star 问题

Chop 操作的模拟思想可以推广到正则表达式的 Chop - Star 问题。定理 17 指出，设 (r) 是字母表 (\Sigma) 上字母宽度为 (n) 的正则表达式，那么字母宽度为 (2^{O(|\Sigma|) \cdot O(n^4)}) 的正则表达式足以描述语言 (L(r^{\otimes}))。

1.2 常规模字母表下的迭代 Chop

在常规模字母表上，正则语言的迭代 Chop 可以转换为等价的多项式规模的普通正则表达式，这与字母表规模增长时的下界形成鲜明对比。目前虽然推测一般情况下将 Chop 表达式（CEs）转换为等价的正则表达式也有类似结论，但尚未得到证明。

2. 图可达性问题概述

许多计算机科学问题可以重新表述为（带标签的）图可达性或可访问性问题。给定一个图 (G)，指定节点 (s) 和 (t)，每条边有一个标签，以