30、前缀正规词的深入探究

前缀正规词的深入探究

1. 引言

在处理二进制单词时，前缀正规词是一个重要的概念。一个单词若其任意长度的因子中字母 a 的最大数量不超过相同长度前缀中字母 a 的数量，则称该单词为前缀正规词。例如，单词 aabbaaba 就不是前缀正规词，因为因子 aaba 中字母 a 的数量多于相同长度前缀 aabb 中字母 a 的数量。

2. 前缀正规形式

我们固定有序字母表 Σ = {a, b} ，其中 a < b 。对于一个单词 w ，我们定义了一些重要的函数和概念：
- |w| 表示单词 w 的长度。
- |w|a 表示单词 w 中字母 a 的出现次数。
- 单词 w 的 Parikh 向量定义为 p(w) = (|w|a, |w|b) 。
- 单词 w 的 Parikh 集 Π(w) = {p(v) | v ∈ Fact(w)} ，即 w 的所有因子的 Parikh 向量的集合。
- 对于每个 0 ≤ k ≤ |w| </