29、上下文无关线性序的可判定性与前缀正规词研究

上下文无关线性序的可判定性与前缀正规词研究

在形式语言和自动机理论中，上下文无关文法生成语言的性质判定是一个重要的研究方向。本文将探讨上下文无关语言是否为散列或良序的可判定性问题，以及介绍一类新的二进制词——前缀正规词。

上下文无关语言性质的可判定性

• 散列语言的判定算法 ：存在一种算法来判定上下文无关文法 $G$ 生成的语言 $L(G)$ 是否为散列的。假设 $G = (N, {0, 1}, P, S)$ 不包含无用的非终结符或 $\epsilon$-规则，且无左递归，$L(G)$ 非空。根据定理 1，$L(G)$ 是散列的当且仅当对于每个递归非终结符 $X$，存在一个本原词 $u_0$，使得当 $X \Rightarrow^+ wX^p$ 时，$w \in u_0^+$。具体判定步骤如下：
  1. 对于强连通分量 $C$ 中的递归非终结符 $X$，找到一个词 $u$ 使得 $X \Rightarrow^+ uX^p$，$u \neq \epsilon$，并令 $u_0$ 为 $u$ 的本原根。
  2. 构造文法 $G_X$，其非终结符包括 $G$ 的非终结符以及 $C$ 中的非终结符 $Y$，规则包括 $G$ 的规则以及新规则 $Y \to^pZ$（其中 $Y, Z \in C$ 且存在 $q$ 使得 $Y \to^pZ^q \in P$），还有规则 $X \to \epsilon$，以 $X$ 为起始符号。
  3. $L(G_X) \subseteq u_0^ $ 当且仅当对于 $G$ 中所有使得 $X \Rightarrow^+ wX^p$ 的 $w$，都有 $w \i