数学与统计问题解析及应用

1、将向量 x1 := [2 3]，x2 := [0 -1] 旋转 30°。

根据二维旋转矩阵 $ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $，当 $ \theta = 30^\circ $ 时，

$$
R(30^\circ) = \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}
$$

向量 $ x_1 = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} $ 旋转后的向量为：

$$
R(30^\circ) x_1 = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{3} - \frac{3}{2} \ 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}
$$

向量 $ x_2 = \begin{bmatrix} 0 \ -1 \end{bmatrix} $ 旋转后的向量为：

$$
R(30^\circ) x_2 = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}
$$

所以 $ x_1 $ 旋转后的向量是 $ \begin{bmatrix} \sqrt{3} - \frac{3}{2} \ 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} $，$ x_2 $ 旋转后的向量是 $ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} $。

2、计算逻辑斯谛Sigmoid函数f(x) = 1 / (1 + exp(−x))的导数f′(x)。

首先，设 $ u = 1 + e^{-x} $，则
$$ f(x) = \frac{1}{u} = u^{-1} $$

根据复合函数求导的链式法则：
$$ f’(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$

1. 先对 $ f(u) = u^{-1} $ 关于 $ u $ 求导，根据求导公式 $ (x^n)’ = nx^{n - 1} $，可得：
   $$
   \frac{df}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}
   $$

2. 再对 $ u = 1 + e^{-x} $ 关于 $ x $ 求导：
   $$
   \frac{du}{dx} = -e^{-x}
   $$

3. 然后将 $ \frac{df}{du} $ 与 $ \frac{du}{dx} $ 相乘：
   $$
   f’(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \left( -\frac{1}{u^2} \right) \cdot \left( -e^{-x} \right) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}
   $$

对其进行变形：
$$
f’(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} = \left( \frac{1}{1 + e^{-x}} \right) \cdot \left( \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \right) = \left( \frac{1}{1 + e^{-x}} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{1 + e^{-x}} \right)
$$

因为：
$$
f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
$$

所以：
$$
f’(x) = f(x)(1 - f(x))
$$

3、计算函数 f(x) = exp(−1 / (2σ²) * (x − µ)²) 的导数 f′(x)，其中 µ, σ ∈ R 为常数。

本题可使用复合函数求导的链式法则来计算导数。

设
$$ u = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot (x - \mu)^2 $$
则
$$ f(x) = e^u $$

根据链式法则
$$ (f(g(x)))’ = f’(g(x)) \cdot g’(x) $$
先对 $ e^u $ 关于 $ u $ 求导，再乘以 $ u $ 关于 $ x $ 的导数。

1. 求 $ e^u $ 关于 $ u $ 的导数 ：
   根据指数函数求导公式 $ (e^x)’ = e^x $，可得
   $$ \frac{d}{du}(e^u) = e^u $$

2. 求 $ u $ 关于 $ x $ 的导数 ：
   对
   $$ u = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot (x - \mu)^2 $$
   求导，根据复合函数求导法则，设
   $$ v = x - \mu $$
   则
   $$ u = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot v^2 $$

• 先对 $ u $ 关于 $ v $ 求导：
  $$ \frac{du}{dv} = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot 2v = -\frac{v}{\sigma^2} $$

• 再对 $ v $ 关于 $ x $ 求导：
  $$ \frac{dv}{d