为什么需要残差？一个来自DeepNet的视角

最新推荐文章于 2025-12-05 16:19:27 发布
转载 最新推荐文章于 2025-12-05 16:19:27 发布 · 192 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
原文链接：https://kexue.fm/archives/8994
文章标签：

#深度学习 #人工智能 #机器学习

文章讨论了深度学习中‘增量爆炸’现象，即层数增加时参数微小变化导致损失函数剧烈波动。Wamrup策略通过初始小学习率缓解此问题，但并非根本解决方案。文章提倡通过修改模型结构，如使用残差网络，来自然抵消层数对更新量的影响，以实现更稳定深层模型的训练。

简单来说，“增量爆炸”就是在层数变多时，参数的微小变化就会导致损失函数的大变化，这对于模型的训练，特别是初始阶段的训练时尤其不利的。对此，一个直接的应对技巧就是Wamrup，初始阶段先用极小的学习率，然后再慢慢增大，避免在初始阶段学习过快。待模型平稳渡过初始阶段的“危险期”后，就可以正常训练了。

然而，尽管Wamrup能起到一定的作用，但其实是“治标不治本”的，因为“参数的微小变化就会导致损失函数的大变化”意味着模型本身的抖动很大，用更专业的话说就是模型的landscape极度不平滑了，这不是一个好模型应该具备的性质。因此，我们应该通过修改模型来解决这个问题，而不是通过降低学习率这种“表面”方法。

所谓修改模型，就是通过调整模型结构或初始化方式，来自然地抵消层数N对更新量的影响。残差结构是可以同时稳定前向传播和反向传播、并且可以缩放参数梯度以解决增量爆炸的一种设计，它能帮助我们训练更深层的模型。

以下转载自https://kexue.fm/archives/8994
在这里插入图片描述

taoqick
关注
yolov8的颈部为什么不用残差连接呢？加上残差连接会咋样？
**My Coding Family**
03-12 1072
🏆本文收录于《全栈Bug调优(实战版)》专栏，主要记录项目实战过程中所遇到的Bug或因后果及提供真实有效的解决方案，希望能够助你一臂之力，帮你早日登顶实现财富自由🚀；同时，欢迎大家关注&&收藏&&订阅！持续更新中，up！up！up！！
【音频处理】什么是残差矢量量化？
gongdiwudu的专栏
01-15 4397
神经压缩技术作为一种新方法正在迅速兴起，它利用神经网络来表示、压缩和重建数据，有可能实现高压缩率和几乎为零的感知信息损失。
训练1000层的transformer
weixin_36378508的博客
10-11 475
transformer深层训练理论分析实现
爆炸增量函数的算法优化
qq_43475395的博客
11-17 552
兔子生兔子的魔鬼数列 使用递归算法可以解决生多少兔子的这个问题，但是空间复杂度很大。 所以进行算法优化 Fib(int n) { int i,s1,s2; if(n<1) return -1; if(n==1||n==2) return 1; s1=1; s2=2; for(i=3;i<n:i++) { s2=s1+s2;//辗转相加法 s1=s2-s1;...
残差网络为什么有用？
qq_27403925的博客
11-15 5791
一般来说，神经网络的深度不应该太深，否则会出现梯度消失和梯度爆炸的情况。loss值在减小到一定程度后，随着训练的增加甚至会反弹。 而残差网络的深度可以很深，很容易学得恒等函数，让loss很难反弹。 一个网络深度越深，它在训练集上训练的效率就会有所减弱，这也是有时候我们不希望加深网络的原因。而事实并非如此，至少在训练 ResNets网络时，并非完全如此，举个例子： 设有一个大型神经网...
ResNet原理详解
gary101818的博客
05-04 7055
目录Residual Net为什么要引入残差连接？残差网络结构解析残差块的实现ResNet模型实现 Residual Net 首先下图为一个简单的残差连接，我们先不介绍具体内涵，而是讨论一下为什么需要残差连接？ 注意：googlenet在这里是拼接，resnet是相加 为什么要引入残差连接？ 首先大家已经形成了一个通识，在一定程度上，网络越深表达能力越强，性能越好。 不过，好是好了，随着网络深度的增加，带来了许多问题： 计算资源的消耗 模型容易过拟合 梯度消失/梯度爆炸问题的产生 在resnet出来之
关于残差网络Resnet的理解
jyli2_11的博客
07-25 6067
Deep Residual Learning for Image Recognition 这篇论文已很有名 参考了大家阅读后的看法http://www.jianshu.com/p/e58437f39f65，也想聊聊自己阅读后的理解        网络深度是影响深度卷积神经网络性能的一大因素，但是研究者发现当网络不断加深时，训练的结果并不好。这不是因为过拟合，因为过拟合的话应该是
训练1000层的Transformer究竟有什么困难？
Paper weekly
03-13 2397
©PaperWeekly 原创 ·作者 | 苏剑林单位 | 追一科技研究方向 | NLP、神经网络众所周知，现在的 Transformer 越做越大，但这个“大”通常是“宽”而不是“深”...
DeepNet千层Transformer：突破模型深度瓶颈的技术革命
gitblog_00221的博客
09-03 690
你是否还在为Transformer模型深度扩展时遭遇的梯度消失、计算爆炸和性能饱和而困扰？作为自然语言处理领域的核心架构，传统Transformer在堆叠超过100层后往往陷入"深度诅咒"——模型性能不升反降。本文将带你揭秘微软DeepNet技术如何通过三大创新突破千层壁垒，实现1000层Transformer的稳定训练与性能飞跃，让你掌握模型深度扩展的关键技术与实践指南。 ## 技术背景：Tr...
Transformer 中的残差连接：为什么在正则化前加入残差？
weixin_52582573的博客
11-06 1402
残差连接，也叫跳跃连接，是一种让输入直接流向输出的结构，最早用于 ResNet 网络，目的是解决深层神经网络中的梯度消失和梯度爆炸问题。深层网络训练时，随着网络层数增加，梯度可能会逐渐减小（消失）或急剧增大（爆炸），导致训练变得非常困难。在 Transformer 中，残差连接也起到了类似的作用——帮助信息直接流向后续层，确保模型学习过程更稳定。残差连接让输入信息直接传递到输出，增强模型稳定性，避免梯度消失问题。残差连接后正则化能平滑输出，防止累积导致的数值不稳定，让输出在深层结构中保持分布一致。
表征工程：为什么提取残差流的表征更好
ZJQ的博客
07-29 2580
摘要： 表征工程中，残差流因其信息完整性、线性适配性和干预兼容性成为提取向量的优选来源。残差流通过跨层传递保留多级语义（如词汇、语法、逻辑），优于单层激活或注意力权重。其线性编码特性支持简单操作（如向量加法）调控模型行为（如提升真实性），且适配多层动态干预与跨任务迁移。表征向量通常从隐藏层、注意力或特定模块提取，通过加法、加权或条件融合与元模型结合。例如，提取中间层事实性向量并注入生成层，可纠正模型输出偏差，实现高效干预。
为什么ResNet深度残差网络广受好评呢？（附代码实现）
l love CV
04-25 3177
何凯明大神在CVPR 2016上发表的《Deep Residual Learning for Image Recognition 图像识别中的深度残差学习网络》深受工业界的欢迎，自提出以来已经成为工业界最受欢迎的卷积神经网络结构。在coco目标检测任务中提升28%的精度，并基于ResNet夺得ILSVRC的检测、定位，COCO 的检测和分割四大任务的冠军。接下来就一起来看这个广受好评的Resnet
理解残差网络(ResNet)
sir_TI的博客
03-31 2453
1.为什么需要残差神经网络？ 现在，目前有个通识就是，只要神经网络的层次足够，那么实际是可以表示任何事物的，但是在通常的情况下，深层次的网络会遇到一个很令人厌烦的问题：梯度消失，即当神经网络足够深的情况下，那么它的梯度值最终会趋向于0。那么怎么解决这个问题呢？比如之前我们可以使用BN或者更换激活函数为Relu，但是这样会导致深层次的网络的误差变大，如原文中作者给出的图： 通过在一个浅层网络基础上...
【人工智能】【深度学习】④ Stable Diffusion核心算法解析：从DDPM到文本生成图像的飞跃
xiezhiyi007的专栏
12-02 1383
Stable Diffusion是AI绘画领域的革命性技术，其核心基于扩散模型：通过"拆快递"式的噪声添加（前向扩散）和"拼乐高"式的逐步去噪（逆向过程），实现从噪声到图像的构建。本文用快递分拣、乐高拼装等生活化类比，解析CLIP文本编码器（翻译文字指令）、VAE（图像压缩）和U-Net（智能拼图）三大核心组件。相比传统GAN模型，它避免模式崩溃，提升语义理解能力，成为文本生成图像的黄金标准。通过代码与架构图解析，帮助开发者快速掌握这项技术的核心逻辑。
深度学习1.4-pytorch安装
最新发布
诚朴勇毅
12-05 78
PyTorch 官方提供了几种安装方法，可以通过 pip 或 conda 进行安装。
深入浅出卷积神经网络（CNN）：从LeNet到Vision Transformer的演进及其实战应用
云雾J视界的博客
12-04 904
本文系统梳理卷积神经网络从LeNet到Vision Transformer的演进脉络，聚焦“为何选用ResNet而非VGG”这一典型面试问题，揭示其背后的技术选型逻辑。文章基于CVPR、ICLR等顶会论文及MLPerf等公开基准，深入剖析四代架构——奠基（LeNet/AlexNet）、深度爆发（VGG/ResNet）、效率觉醒（MobileNet）与注意力时代（ViT/ConvNeXt）的核心创新与工程权衡。
RNN、LSTM 区别
Bojun Jiang的博客
12-02 739
对比维度传统 RNNLSTM（长短期记忆网络）核心结构单一隐藏状态（h），无门控机制细胞状态（长期记忆）+ 隐藏状态（短期记忆）+ 3 个门控长距离依赖能力弱（梯度消失 / 爆炸，记不住长远信息）强（门控 + 细胞状态稳定传递长距离信息）参数复杂度低（结构简单，参数少）高（多了门控参数，计算量更大）训练难度易训练（参数少）但效果差（长序列）难训练（参数多、计算量大）但效果好（长序列）适用场景短序列数据（如 10 个词以内的短句、短时序）
深度学习1.1-软件安装-Anaconda软件与pyCharm软件安装
诚朴勇毅
12-03 598
为了研究深度学习与信号处理的结合，我又开始搞起了深度学习，博一的时候浅试过一次都失败了，这次打算学习一下Pytorch和一些最新的网络，好好做几篇论文。首先就是搭环境。我先安装了一个Anaconda，从网上搜了一大堆，我的理解是，Anaconda就是一个包管理器，因为pythoh版本太多了，而且要装的包也很多，各种包之间容易产生冲突，为了杜绝这个问题，我们可以安装一个Anaconda，它就像一个虚拟机，可以创建不同的操作系统，我们创建的不同任务和工程可以跑在不同的环境下。
[论文笔记] End-to-End Audiovisual Fusion with LSTMs
2302_76169191的博客
12-03 587
本文是《End-to-end visual speech recognition with LSTMs》的进阶篇。它将基于 LSTM 的端到端架构从视觉（Visual）扩展到了视听（Audiovisual）领域，并将任务从单纯的“说话内容识别”扩展到“语音识别和非语言发声分类”。
我需要用高斯似然进行训练，能否将残差变化为高斯分布再训练变换后的残差？
11-07
<think>我们面对的问题是：在数据非正态、重尾，且残差非正态、异方差的情况下，能否通过将残差变换为高斯分布，然后用高斯过程拟合变换后的残差？ 首先，回顾一下用户的问题背景： - 原始数据分布是非正态且重尾的。 - 在给定均值函数后，残差仍然是非正态分布并且具有异方差性。 - 用户希望使用高斯过程（GP）进行拟合，但标准GP假设噪声是独立同分布的高斯噪声（即同方差且正态）。 用户提出的解决方案：对残差进行变换，使其成为高斯分布，然后对变换后的残差用高斯过程建模。 这个思路是可行的，但要注意以下几个关键点： ### 1. **残差变换的可行性** 我们可以对残差进行变换（如Box-Cox变换）使其接近高斯分布。但需要注意的是： - 残差变换必须使用与响应变量变换相同的原则，因为残差是响应变量与预测均值之差。 - 残差变换后，我们是在变换后的空间建模，因此预测结果需要反变换回到原始空间。 ### 2. **步骤概述** (1) 首先，我们用一个初始的均值函数（比如常数均值或线性模型）拟合数据，得到残差$r_i = y_i - \mu(x_i)$。 (2) 然后，我们对残差进行变换：$z_i = g(r_i)$，使得$z_i$近似服从高斯分布（可以使用Box-Cox变换或其他变换）。 (3) 接下来，我们使用高斯过程对变换后的残差$z_i$进行建模，假设$z$是一个高斯过程： $$ z = f(x) + \epsilon $$ 其中$\epsilon$是独立同分布的高斯噪声（均值为0，方差为$\sigma^2$），而$f(x)$是一个高斯过程（均值为0，协方差函数为$k(x,x')$）。 (4) 在预测时，我们需要先预测$x_*$处的变换残差$z_*$，然后反变换得到残差的预测：$r_* = g^{-1}(z_*)$，最后得到预测值：$y_* = \mu(x_*) + r_*$。 ### 3. **注意事项** - **变换的选择**：常用的变换包括Box-Cox变换、Yeo-Johnson变换、对数变换等。需要根据残差的分布特性选择。Box-Cox变换要求数据为正，如果残差有负值，则可以考虑Yeo-Johnson变换。 - **变换参数的估计**：变换参数（如Box-Cox的$\lambda$）需要通过最大似然估计等方法确定，目标是使得变换后的数据最接近高斯分布。 - **均值函数的准确性**：初始的均值函数$\mu(x)$需要尽可能准确，否则残差中可能包含本应由均值函数捕获的结构，导致变换后仍有模式未捕获。 - **异方差的处理**：残差的异方差性可能会影响变换的效果。如果异方差性很强，可能需要考虑在变换后仍然对方差进行建模（例如，使用复合核或非高斯似然），或者采用加权变换。 - **变换的可逆性**：变换$g$必须是可逆的，以保证反变换的唯一性。 - **预测的不确定性传播**：在反变换时，变换后的高斯过程预测的不确定性（均值和方差）需要正确地传播到原始空间。由于变换通常是非线性的，预测分布可能会变得非高斯，因此我们需要进行近似（如使用Delta方法）或采用蒙特卡洛采样来获取预测区间。 ### 4. **具体步骤** #### 步骤1: 拟合初始均值函数 选择一个简单的模型（如线性回归或多项式回归）拟合$y$与$x$的关系，得到预测值$\hat{\mu}(x)$，并计算残差： $$ r_i = y_i - \hat{\mu}(x_i) $$ #### 步骤2: 残差变换 对残差进行变换，例如Box-Cox变换： $$ z_i = g(r_i, \lambda) = \begin{cases} \frac{r_i^\lambda - 1}{\lambda} & \lambda \neq 0 \\ \ln(r_i) & \lambda = 0 \end{cases} $$ 其中$\lambda$通过最大似然估计选择，使得变换后的$z_i$尽可能服从正态分布。 #### 步骤3: 用高斯过程建模变换后的残差 将$(x_i, z_i)$作为新的训练数据，使用标准高斯过程回归（高斯似然）进行建模： $$ z \sim \mathcal{GP}(0, k(x,x')) $$ 这里假设变换后的残差在输入空间上是平稳的。 #### 步骤4: 预测与反变换 对于新的输入$x_*$，预测其变换残差$z_*$的均值和方差（记为$\mu_z(x_*)$和$\sigma_z^2(x_*)$）。然后通过反变换得到原始残差的预测： $$ r_* = g^{-1}(z_*) = \begin{cases} (\lambda z_* + 1)^{1/\lambda} & \lambda \neq 0 \\ \exp(z_*) & \lambda = 0 \end{cases} $$ 最终预测值为： $$ y_* = \hat{\mu}(x_*) + r_* $$ 但是，由于反变换是非线性的，$r_*$的分布是非高斯的，因此我们需要考虑不确定性传播。通常，我们通过蒙特卡洛方法： - 从$z_*$的后验分布中采样多个$z_*^{(s)} \sim \mathcal{N}(\mu_z(x_*), \sigma_z^2(x_*))$，$s=1,...,S$ - 对每个样本进行反变换：$r_*^{(s)} = g^{-1}(z_*^{(s)})$ - 计算$y_*^{(s)} = \hat{\mu}(x_*) + r_*^{(s)}$ - 用这些样本的均值和分位数作为预测和预测区间。 ### 5. **优缺点分析** **优点**： - 将非正态、重尾的残差转换为高斯分布，满足高斯过程的假设。 - 可以部分缓解异方差问题（如果变换同时稳定了方差）。 - 利用高斯过程在变换空间建模，可以捕捉残差中的复杂模式。 **缺点**： - 初始均值函数的选择可能不充分，导致残差中仍然包含可预测的结构，这时可能需要迭代方法（例如，用GP拟合残差后，更新均值函数，再重新计算残差，反复进行）。 - 变换参数估计和模型拟合分开进行，可能导致次优结果（可以考虑联合优化）。 - 反变换时的不确定性传播需要额外计算（如蒙特卡洛采样）。 - 如果残差的异方差性很强，简单的变换可能无法完全消除异方差，此时变换后的残差可能仍存在异方差，需要进一步处理（例如，在GP中使用非平稳核）。 ### 6. **与之前回答的联系** 在之前的回答中，我们提到了数据变换（如Box-Cox变换）是处理非正态性和重尾的一种方法。这里将变换应用于残差，本质上类似，但操作对象不同：之前是对整个响应变量$y$进行变换，这里是对残差进行变换。残差变换的好处在于保留了均值函数的结构，而响应变量变换可能会改变均值函数的形式。 ### 7. **替代方案** 如果残差变换效果不佳（例如，变换后仍不满足高斯假设），可以考虑： - 使用非高斯似然的高斯过程（如Student-t似然），直接对原始残差建模[^3]。 - 采用变分高斯过程（VGP）或期望传播（EP）来近似非高斯后验。 ### 结论 可以这样做：通过对残差进行变换使其高斯化，然后在变换后的空间使用高斯过程建模。但需要注意变换的选择、参数估计、反变换时的不确定性传播，以及初始均值函数的充分性。如果操作得当，这是一种有效的方法。 --- §§相关问题§§ 1. 如何选择残差变换的最佳参数（如Box-Cox变换的$\lambda$）？ 2. 反变换时如何准确传播不确定性？ 3. 残差变换与直接对响应变量变换相比有何优劣？ 4. 如果残差变换后仍存在异方差，该怎么办？ </think>在数据分布非正态且重尾、残差非正态且异方差的情况下，**可以尝试将残差变换为高斯分布后再用高斯过程拟合**，但这种方法需要谨慎处理技术细节和潜在问题。以下是系统化的分析和实施建议： --- ### 一、残差变换的可行性分析 1. **核心原理** 通过变换使残差近似服从高斯分布，满足标准GP的高斯似然假设： $$ \begin{aligned} &r_i = y_i - \mu(\mathbf{x}_i) \quad \text{(原始残差)} \\ &z_i = g(r_i) \quad \text{其中 } z_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \end{aligned} $$ 然后在变换空间拟合$z_i$的GP模型[^1]。 2. **适用条件** - 残差分布形态稳定（如偏斜方向一致） - 变换函数$g(\cdot)$需满足可逆性（保证预测可反变换） - 异方差性可通过变换缓解（如方差随均值单调变化） --- ### 二、关键实施步骤 #### 步骤1：选择变换函数 | 变换类型 | 公式 | 适用场景 | |----------------|--------------------------------|------------------------------| | **Box-Cox** | $$ z = \frac{r^\lambda - 1}{\lambda} $$ | 正数残差，$\lambda$优化尾部 | | **Yeo-Johnson**| $$ z = \begin{cases} \frac{(r+1)^\lambda -1}{\lambda} & r \geq 0 \\ \frac{1 - (1-r)^{2-\lambda}}{2-\lambda} & r < 0 \end{cases} $$ | 含负值残差 | | **分位数归一化**| $$ z = \Phi^{-1}(F_n(r)) $$ | 任意分布，强制高斯化 | > 通过MLE优化$\lambda$或ECDF估计$F_n$[^1] #### 步骤2：拟合变换后残差的GP $$ z(\mathbf{x}) \sim \mathcal{GP}\left(0, k(\mathbf{x}, \mathbf{x}')\right) $$ - 协方差核$k$选择：优先使用**马氏核**（如自动相关性确定ARD-RBF）处理异方差： $$ k_{\text{ARD}}(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j) = \sigma_f^2 \exp\left( -\sum_{d=1}^D \frac{(x_{id}-x_{jd})^2}{2l_d^2} \right) $$ #### 步骤3：预测与反变换 1. 预测变换空间： $$ z_* | \mathbf{X}, \mathbf{z}, \mathbf{x}_* \sim \mathcal{N}(\mu_z, \sigma_z^2) $$ 2. **反变换关键**： - 单点预测：$ r_* = g^{-1}(z_*) $ - 不确定性传播：需Jacobian校正 $$ p(r_*) = p(z_*) \cdot \left| \frac{dg^{-1}}{dz} \right| $$ - 蒙特卡洛采样（推荐）： ```python z_samples = np.random.normal(mu_z, sigma_z, 1000) r_samples = g_inv(z_samples) # 反变换 r_mean = np.mean(r_samples) r_std = np.std(r_samples) ``` --- ### 三、潜在问题与解决方案 | 问题 | 风险 | 解决方案 | |-------------------------|-------------------------------|------------------------------| | **变换失效** | 尾部仍厚重/多峰 | 改用Student-t似然GP[^3] | | **异方差残留** | 变换后方差仍依赖$\mathbf{x}$ | 添加方差过程：<br> $k_\sigma(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j) = \mathbf{x}_i^\top \mathbf{x}_j$ | | **反变换偏差** | 期望$E[g^{-1}(z)] \neq g^{-1}(E[z])$ | 蒙特卡洛采样替代解析解 | | **计算不稳定** | $\lambda \to 0$或边界值 | 正则化$\lambda$先验$p(\lambda)$ | > 建议：通过**分位数图**验证变换后残差$z_i$的正态性[^1] --- ### 四、与替代方法的对比 | 方法 | 优势 | 劣势 | |---------------------|-------------------------------|-------------------------------| | **残差变换+GP** | 保持GP解析推断效率 | 变换选择敏感，反变换复杂 | | **直接Student-t似然**| 自然处理重尾，无需变换 | 推断需MCMC，计算成本高10倍[^3] | | **深度核GP** | 自动学习表示，缓解异方差 | 训练不稳定，超参调优复杂 | > **推荐策略**：先尝试Box-Cox/Yeo-Johnson变换，若QQ图未达标则切換到Student-t似然GP --- ### 五、完整代码框架（Python） ```python import numpy as np from scipy import stats from sklearn.preprocessing import PowerTransformer from gpflow.models import GPR from gpflow.kernels import RBF # 1. 计算初始残差 (使用简单均值函数) mu = np.mean(y_train) # 或更复杂的均值函数 r_train = y_train - mu # 2. 残差变换 (Yeo-Johnson) transformer = PowerTransformer(method='yeo-johnson', standardize=True) z_train = transformer.fit_transform(r_train.reshape(-1, 1)).flatten() # 3. 拟合GP (使用自动微分优化) kernel = RBF(lengthscales=[1.0] * X_train.shape[1]) model = GPR(data=(X_train, z_train), kernel=kernel, noise_variance=0.01) opt = gpflow.optimizers.Scipy() opt.minimize(model.training_loss, model.trainable_variables) # 4. 预测与反变换 z_mean, z_var = model.predict_f(X_test) z_samples = np.random.normal(z_mean, np.sqrt(z_var), 1000) # 蒙特卡洛反变换 r_samples = transformer.inverse_transform(z_samples.reshape(-1, 1)).reshape(1000, -1) y_samples = r_samples + mu # 添加均值函数 # 计算预测统计量 y_pred = np.median(y_samples, axis=0) y_lower = np.percentile(y_samples, 2.5, axis=0) y_upper = np.percentile(y_samples, 97.5, axis=0) ``` --- ### 结论 **可以实施残差变换+GP方案，但需严格验证**： 1. 优先选择参数化变换（Box-Cox/Yeo-Johnson） 2. 必须用蒙特卡洛处理反变换不确定性 3. 通过QQ图诊断变换后正态性 4. 若变换后仍有厚尾/异方差，切换到Student-t似然GP[^3] > 该方法在金融波动率预测、地质异常检测等重尾场景中验证有效[^1][^3]。 ---
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值