2023NOIP A层联测18 新的阶乘

题目大意

我们定义$f(x)=x^1\times (x-1{)}^2\times (x-2{)}^3\times \cdots \times 2^{x-1}\times 1^x$。给定$n$，求$f(n)$的质因子分解形式。

求$f(n)$的质因子分解形式，要求按照质因子大小排列，当指数为$1$时应当忽略指数，具体格式要求参见样例。

样例输出

5

样例输出

f(5)=2^8*3^3*5

样例解释

$f(5)=2^4\times 3^3\times 4^2\times 5^1=2^8\times 3^3\times 5$

数据范围

$1\le n\le 10^7$

题解

首先，我们可以用欧拉筛求出$10^7$以内的质数$p_i$以及，每个数的最小质因数$l{t}_i$。

我们用$t_i$表示当前每个数未被算入答案的次数，用$c_i$表示每个质数$i$最终的次数。

我们从大到小枚举$i$，对于每个$i$，将$i$分成$l{t}_i$和$\frac{i}{l{t}_i}$。$l{t}_i$是质数，所以可以将$i$的次数贡献到$c_{l{t}_i}$中；然后，将$t_{\frac{i}{l{t}_i}}$的次数加上$i$的次数即可。

最后，每个质数$i$的$c_i$即为这个质数的次数。

时间复杂度为$O(n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7;
int n,fl=0,z[N+5],p[N+5],lt[N+5];
long long ans=0,c[N+5],t[N+5];
void init(){
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!z[i]){
			p[++p[0]]=i;lt[i]=i;
		}
		for(int j=1;j<=p[0]&&1ll*i*p[j]<=N;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			lt[i*p[j]]=p[j];
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
int main()
{
//	freopen("factorial.in","r",stdin);
//	freopen("factorial.out","w",stdout);
	init();
	scanf("%d",&n);
	for(int i=n;i>=2;i--){
		t[i]+=n+1-i;
		c[lt[i]]+=t[i];
		t[i/lt[i]]+=t[i];
		t[i]=0;
	}
	printf("f(%d)=",n);
	for(int i=1;i<=p[0];i++){
		if(c[p[i]]){
			if(fl) printf("*");
			else fl=1;
			if(c[p[i]]==1) printf("%d",p[i]);
			else printf("%d^%lld",p[i],c[p[i]]);
		}
	}
	return 0;
}