零点定理习题

零点定理

证明方程$x^5-5x+1=0$有且仅有一个小于$1$的正实根。

解：
\qquad 令$F(x)=x^5-5x+1$

$\because F(0)=1>0,F(1)=-3<0$

$\therefore F(0)\cdot F(1)<0$

$\because F(x)$在$[0,1]$上连续，$F(0)\cdot F(1)<0$

\qquad 由连续函数的零点定理得$\exists \xi \in (0,1)$，使得$F(\xi )=0$

\qquad 又$\because F^{\prime }(x)=5x^4-5$，在$(0,1)$上始终有$F^{\prime }(x)<0$

\qquad 即$F(x)$在$(0,1)$上单调递减

$\therefore$方程$x^5-5x+1=0$有且仅有一个小于$1$的正实根

总结

遇到这一类题目，先构造一个函数$F(x)$，求$F(x)$的零点，在证明单调性即可解题。