零点定理简介

最值定理

如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则这个区间上一定存在最大值$M$和最小值$m$。

即：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一定有界。

介值定理

如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且最大值和最小值分别为$M$和$m$，则对于$m$和$M$之间的任何实数$c$，在$[a,b]$上至少存在一个$\xi$，使得$f(\xi )=c$。

即：闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值。

零点定理

如果函数在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则在$(a,b)$内至少存在一个$\xi$，使得$f(\xi )=0$

零点定理其实就是介值定理的一种特殊情况。

零点定理的用法

• 用于方程找根或证明函数零点存在
• 若$f(x)$在$[a,b]$上单调，则$\xi$唯一

例题

设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，且$0<f(x)<1,f^{\prime }(x)>1$，证明：

(1) 在$(0,1)$内存在一个点$\xi$，使得$f(\xi )=\xi$。

(2) $\xi$是唯一的。

解：
\quad(1) 令$F(x)=f(x)-x$

$F(0)=f(0)-0>0,F(1)=f(1)-1<0$

$F(x)$在$[0,1]$上连续，$F(0)\cdot F(1)<0$

\qquad由连续函数的零点定理得$\exists \xi \in (0,1)$，使$F(\xi )=0$

\qquad即$f(\xi )-\xi =0$，得证$f(\xi )=\xi$

\quad(2) $\because F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1,f^{\prime }(x)>1$

$\therefore$在$(0,1)$上始终由有$F^{\prime }(x)>0$，即$F(x)$单调递增

$\therefore F(x)$有且只有一个零点

\qquad即有且仅有一个点$\xi$，使$f(\xi )=\xi$