微分中值定理之柯西中值定理

柯西中值定理

若函数$f(x)$和$g(x)$满足

• 在闭区间$[a,b]$连续
• 在开区间$(a,b)$可导
• $g^{\prime }(x)\ne 0$

则存在$\xi \in (a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

例题

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导$(0<a<b)$，
求证：存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=\xi \ln \frac{b}{a}{f}^{\prime }(\xi )$。

解：
\qquad令$g(x)=\ln x$

$\because f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导

$\therefore$由柯西中值定理得：$\exists \xi \in (a,b)$，使得

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$，即$\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{\frac{1}{\xi }}=\xi f^{\prime }(\xi )$

\qquad得证$f(b)-f(a)=\xi \ln \frac{b}{a}{f}^{\prime }(\xi )$

总结

构造$g(x)$，通过$f(x),g(x)$用柯西中值定理解题