导数求切线

对于一个连续的函数，切点处的导数等于切线斜率。我们只需要知道切点坐标和切点斜率，就能求切线方程。

例1

过$(1,e)$作$y=e^x$的切线，求切线方程。

解：
$y^{\prime }=e^x{|}_{x=1}=e$

\qquad所以$k=e$

$y-e=e(x-1)$，即$y=ex$

例2

$y=3(x^2+x)e^x$在点$(0,0)$处的切线方程为$\underline{}$

解：
$y^{\prime }=3(x^2+3x+1)e^x{|}_{x=0}=3$

\qquad所以$k=3$

$(y-0)=3(x-0)$，即$y=3x$

例3

过$(0,1)$作$y=\ln x$的切线，求切线方程。

解：
\qquad设切点为$(x_0,\ln x_0)$，则$y^{\prime }=\frac{1}{x}{|}_{x=x_0}=\frac{1}{x_0}$

\qquad所以$k=\frac{1}{x_0}$，即$y-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)$

\qquad将$(0,1)$代入得$1-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(0-x_0)$，解得$x_0=e^2$

\qquad将$x_0$代入$y=\ln x$，得$y_0=2$，切点为$(e^2,2)$

\qquad切线为$y-2=\frac{1}{e^2}(x-e^2)$，即$y=\frac{1}{e^2}x+1$

总结

本篇文章简单讲了用导数求切线方程中给切点和给切线上一点的解题方法，只做了解，并没有深入探讨，目的是让大家更多地了解导数的用途。