二进制优化背包

本文介绍了一种使用二进制优化技术解决背包问题的方法,通过将物品分割并利用01背包的思路,降低了时间复杂度至O(m∑logci),适用于物品数量众多且价值计算密集型场景。实例代码展示了如何在HDU-1171问题中应用此优化策略。

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有一个背包,体积为 m m m。现在给出 n n n种物品,每种物品体积为 a i a_i ai,价值为 b i b_i bi,个数为 c i c_i ci。求这个背包能装下物品的最大价值为多少。

如果把第 i i i种物品拆成 c i c_i ci个物品来用01背包的方法做,则时间复杂度为 O ( m ∑ c i ) O(m\sum c_i) O(mci),在一些题目中会TLE。所以我们需要用到二进制优化。

对于题中的 c i c_i ci,我们可以把它分为 ( 2 t − 1 ) + ( c i − 2 t + 1 ) (2^t-1)+(c_i-2^t+1) (2t1)+(ci2t+1),其中 t t t是满足 c i − 2 t + 1 ≥ 0 c_i-2^t+1\geq 0 ci2t+10的最大整数。

2 t − 1 2^t-1 2t1可以分为 1 , 2 , 4 , … , 2 t − 2 , 2 t − 1 1,2,4,\dots,2^{t-2},2^{t-1} 1,2,4,,2t2,2t1,这些数可以组成 1 1 1 2 t − 1 2^t-1 2t1中的所有数。

于是,我们可以将第 i i i种物品分成 t + 1 t+1 t+1组,第 j j j组物品 ( 1 ≤ j ≤ t ) (1\leq j\leq t) (1jt) 2 j − 1 2^{j-1} 2j1个,第 t + 1 t+1 t+1组物品有 ( c i − 2 t + 1 ) (c_i-2^t+1) (ci2t+1)

假设第 i i i种物品需要放 k k k

1 ≤ k ≤ 2 t − 1 1\leq k\leq 2^t-1 1k2t1,显然以上的数据可以组成。

2 t ≤ k ≤ c i 2^t\leq k\leq c_i 2tkci
2 t − ( c i − 2 t + 1 ) ≤ k − ( c i − 2 t + 1 ) ≤ c i − ( c i − 2 t + 1 ) 2^t-(c_i-2^t+1)\leq k-(c_i-2^t+1)\leq c_i-(c_i-2^t+1) 2t(ci2t+1)k(ci2t+1)ci(ci2t+1)
也就是 2 t + 1 − c i − 1 ≤ k − ( c i − 2 t + 1 ) ≤ 2 t − 1 2^{t+1}-c_i-1\leq k-(c_i-2^t+1)\leq 2^t-1 2t+1ci1k(ci2t+1)2t1
我们只需要用第 1 1 1 t t t组物品凑出 k − ( c i − 2 t + 1 ) k-(c_i-2^t+1) k(ci2t+1)个,再加上第 t + 1 t+1 t+1组物品的 ( c i − 2 t + 1 ) (c_i-2^t+1) (ci2t+1)个,就得出 k k k个物品了。
用二进制可以很好地提高代码的效率,总时间复杂度为 O ( m ∑ l o g c i ) O(m\sum log c_i) O(mlogci)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[10005],b[10005],c[10005],f[10005];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int v=1,p=a[i],q=b[i];
        while(c[i]>=v){
            c[i]-=v;
            for(int j=m;j>=p;j--){
                f[j]=max(f[j],f[j-p]+q);
            }
            v<<=1;
            p=a[i]*v;q=b[i]*v;
        }
        if(c[i]){
            p=a[i]*c[i];q=b[i]*c[i];
            for(int j=m;j>=p;j--){
                f[j]=max(f[j],f[j-p]+q);
            }
        }
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

例题HDU-1171 Big Event in HDU
可以用二进制优化

code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,sum,a,b,f[1000005];
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)){
        if(n<0) return 0;
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0]=1;sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            sum+=a*b;
            int v=1,p=a;
            while(b>=v){
                b-=v;
                for(int j=sum;j>=p;j--) f[j]|=f[j-p];
                v*=2;p=a*v;
            }
            if(b){
                p=a*b;
                for(int j=sum;j>=p;j--) f[j]|=f[j-p];
            }
        }
        for(int i=(sum+1)/2;;i++){
            if(f[i]){
                printf("%d %d\n",i,sum-i);
                break;
            }
        }
    }
}
<think>首先,用户的问题是关于混合背包问题的二进制优化方法。混合背包问题结合了0-1背包、完全背包和多重背包的元素。用户提到了二进制优化,这通常用于多重背包部分,以优化物品数量的处理。 从系统指令中,我需要: - 使用$...$格式的行内数学表达式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - 确保LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题。 - 参考提供的引用,但基于用户需求。 用户提供的引用: - 引用[1]:混合背包二进制优化代码示例。 - 引用[2]:C++混合背包问题(多重背包二进制优化),解释数组V、W、S和动态规划求解。 用户的具体问题是:“我想解决混合背包问题的二进制优化方法 请问混合背包问题 二进制优化方法 算法实现” 所以,我需要解释混合背包问题,二进制优化方法,并给出算法实现。 混合背包问题: - 物品有不同类型:有些只能取一次(0-1背包),有些可以取无限次(完全背包),有些可以取有限次(多重背包)。 - 二进制优化主要用于多重背包部分,将物品数量分解为二进制表示,以减少状态转移的次数。 二进制优化: - 对于多重背包,如果一个物品有s个可用,我们可以将s分解为1, 2, 4, ..., 2^k, s - (2^{k+1}-1),这样可以用这些二进制组合来表示任何数量从0到s的物品。 - 这允许我们将多重背包问题转化为0-1背包问题,每个二进制组合被视为一个新的物品。 算法实现: - 基于用户提供的引用代码,我需要解释并可能简化代码。 - 代码结构: - 输入:物品数量n,背包容量m。 - 对于每个物品,输入体积a,价值b,数量限制s。 - 如果s == -1:0-1背包,直接添加一个物品。 - 如果s > 0:多重背包,使用二进制优化分解。 - 如果s == 0:完全背包,但代码中使用了二进制分解,这有点奇怪;通常完全背包不需要分解,直接用无限次处理。 - 在引用代码中,对于s == 0(完全背包),它使用了二进制分解,但这不是标准做法。标准做法是单独处理完全背包部分。 - 然后,将所有物品视为0-1背包,使用一维数组动态规划。 我需要纠正或解释代码: - 对于完全背包(s == 0),标准方法是使用正向遍历的动态规划,而不是二进制分解。 - 在代码中,它似乎对完全背包也进行了二进制分解,但分解到N(一个常量),这可能不高效或正确。N是10010,这可能导致物品数量爆炸。 更好的做法: - 对于每种物品类型: - 0-1背包:直接添加。 - 完全背包:单独处理,使用正向DP。 - 多重背包:使用二进制优化分解为多个物品,然后作为0-1背包处理。 - 然后,在动态规划中,混合处理:对于0-1和多重背包(分解后),使用反向遍历;对于完全背包,使用正向遍历。但代码中似乎将所有视为0-1背包处理。 在引用代码中,它将所有物品分解后,统一使用0-1背包的DP(反向遍历)。这适用于0-1和多重背包分解,但对于完全背包,它应该用正向遍历。代码中对于s==0,它进行了二进制分解,但分解后作为0-1物品处理,这等价于完全背包的近似,但不精确,因为完全背包应该允许任意数量。 标准混合背包处理: 1. 预处理物品: - 对于0-1背包(s = -1 或类似),添加一个物品。 - 对于多重背包(s > 0),使用二进制优化分解为多个物品。 - 对于完全背包(s = 0),单独标记,或在DP中特殊处理。 2. 在DP中: - 使用一维数组f[j]表示容量j的最大价值。 - 对于0-1背包和多重背包分解后的物品,使用反向遍历:for j from m down to v[i]。 - 对于完全背包物品,使用正向遍历:for j from v[i] to m。 但在用户提供的代码中,它对于完全背包也进行了二进制分解(分解到N),然后作为0-1背包处理。这可能导致物品数量巨大,且不是最优方法。我应该指出这一点。 回答结构: 1. 解释混合背包问题。 2. 解释二进制优化方法。 3. 给出算法实现步骤和代码。 4. 生成相关问题。 使用中文回答。 添加引用标识:在解释代码时,引用提供的引用。 数学表达式: - 行内:例如,背包容量 $V$,价值 $w$ 等。 - 独立公式:如果需要,如DP状态转移方程。 独立公式可能: - 对于0-1背包:$$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_i] + w_i) $$ - 对于完全背包:$$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_i] + w_i) \quad \text{for} \quad j \text{ from } v_i \text{ to } m $$ 但可能不需要独立公式,除非必要。 生成相关问题:在最后,添加§§相关问题§§。 现在,构建回答: - 介绍混合背包问题。 - 解释二进制优化。 - 描述算法实现,基于代码但修正。 - 提供代码示例(简化或修正)。 - 相关问题。</think>### 混合背包问题与二进制优化方法 混合背包问题是背包问题的扩展,结合了三种基本类型:0-1背包(每个物品最多取一次)、完全背包(每个物品可取无限次)和多重背包(每个物品可取有限次)。问题定义为:有 $N$ 种物品和一个容量为 $V$ 的背包,每种物品有体积 $v_i$、价值 $w_i$ 和数量限制 $s_i$($s_i = -1$ 表示0-1背包,$s_i = 0$ 表示完全背包,$s_i > 0$ 表示多重背包)。目标是选择物品放入背包,使总价值最大,且总体积不超过 $V$。 二进制优化是一种针对多重背包部分($s_i > 0$)的高效技巧,它能将物品数量分解为二进制组合,减少状态转移次数,从而优化动态规划求解。核心思想是将一个数量为 $s$ 的物品分解为若干“虚拟物品”,每个虚拟物品代表二进制权重(如 $1, 2, 4, \dots$),这样可以将多重背包转化为0-1背包问题,降低时间复杂度到 $O(V \log S)$,其中 $S$ 是最大物品数量[^1]。 #### 二进制优化方法详解 对于多重背包物品($s_i > 0$),优化步骤如下: 1. **二进制分解**:将数量 $s$ 分解为 $2^k$ 的组合。例如,$s = 13$ 可分解为 $1, 2, 4, 6$(因为 $1 + 2 + 4 + 6 = 13$)。具体过程: - 从 $k=0$ 开始,取 $2^k$ 直到 $2^k \leq s$。 - 剩余部分 $s - \sum 2^k$ 作为最后一个虚拟物品。 - 每个虚拟物品的体积为 $a \times 2^k$,价值为 $b \times 2^k$($a$ 和 $b$ 是原物品的单位体积和价值)。 2. **转化为0-1背包**:分解后的虚拟物品作为独立物品添加到物品列表中,之后用0-1背包的DP方法处理。 3. **混合处理**: - 0-1背包($s_i = -1$)直接添加为单个物品。 - 完全背包($s_i = 0$)需单独处理(使用正向遍历DP),不应使用二进制分解,以避免物品数量爆炸[^2]。 - 多重背包($s_i > 0$)使用二进制分解后处理。 动态规划状态转移方程: - 定义 $f[j]$ 为背包容量 $j$ 时的最大价值。 - 对于0-1背包和多重背包分解后的物品(反向遍历): $$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_i] + w_i) \quad \text{for} \quad j \text{ from } V \text{ down to } v_i $$ - 对于完全背包物品(正向遍历): $$ f[j] = \max(f[j], f[j - v_i] + w_i) \quad \text{for} \quad j \text{ from } v_i \text{ to } V $$ #### 算法实现 基于您提供的引用代码[^1][^2],我实现了一个修正版的C++算法。修正点包括: - 完全背包($s_i = 0$)不使用二进制分解,而是单独在DP中正向处理,避免不必要的物品膨胀(原代码对完全背包进行二进制分解到最大容量 $N$,可能导致效率低下)。 - 使用一维DP数组优化空间。 - 输入格式:第一行输入物品数 $n$ 和背包容量 $m$;接下来 $n$ 行,每行输入 $a$ (体积)、$b$ (价值)、$s$ (数量限制)。 以下是完整代码实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int MAX_V = 10010; // 最大背包容量 int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<int> f(MAX_V, 0); // DP数组,f[j]表示容量j的最大价值 vector<pair<int, int>> items_01; // 存储0-1背包和多重背包分解后的物品(体积,价值) vector<pair<int, int>> items_complete; // 存储完全背包物品(体积,价值) // 处理每个物品 for (int i = 0; i < n; i++) { int a, b, s; cin >> a >> b >> s; if (s == -1) { // 0-1背包:直接添加 items_01.push_back({a, b}); } else if (s == 0) { // 完全背包:单独存储,不分解 items_complete.push_back({a, b}); } else if (s > 0) { // 多重背包二进制优化分解 for (int k = 1; k <= s; k *= 2) { items_01.push_back({a * k, b * k}); s -= k; } if (s > 0) { items_01.push_back({a * s, b * s}); } } } // 处理0-1背包和多重背包分解后的物品(反向遍历) for (auto &item : items_01) { int v = item.first, w = item.second; for (int j = m; j >= v; j--) { f[j] = max(f[j], f[j - v] + w); } } // 处理完全背包物品(正向遍历) for (auto &item : items_complete) { int v = item.first, w = item.second; for (int j = v; j <= m; j++) { f[j] = max(f[j], f[j - v] + w); } } cout << f[m] << endl; // 输出最大价值 return 0; } ``` **代码解释**: - **预处理阶段**:遍历所有物品,根据 $s_i$ 分类处理。多重背包使用二进制分解(例如,$s=5$ 分解为 $1+4$),生成虚拟物品添加到 `items_01` 列表。 - **DP阶段**: - 先处理0-1和多重背包物品:使用反向遍历(`j` 从 $m$ 到 $v$),确保每个物品只选一次。 - 再处理完全背包物品:使用正向遍历(`j` 从 $v$ 到 $m$),允许无限次选择。 - **时间复杂度**:$O(N \log S + V)$,其中 $S$ 是最大物品数量,$V$ 是背包容量。二进制优化显著减少了多重背包的计算量[^2]。 - **空间复杂度**:$O(V)$,使用一维DP数组。 #### 注意事项 - 在实际应用中,确保背包容量 $m$ 不超过预设的 `MAX_V`。 - 对于完全背包,正向遍历必须在0-1背包之后执行,以避免状态覆盖。 - 二进制优化是多重背包的标准方法,但完全背包应单独处理以提高效率(原引用代码对完全背包使用二进制分解,可能导致物品数量过多,不推荐)[^1][^2]。
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