二进制优化背包

原创已于 2022-09-02 20:22:31 修改 · 976 阅读

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#c++ #算法

于 2022-09-02 17:09:21 首次发布

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本文介绍了一种使用二进制优化技术解决背包问题的方法，通过将物品分割并利用01背包的思路，降低了时间复杂度至O(m∑logci)，适用于物品数量众多且价值计算密集型场景。实例代码展示了如何在HDU-1171问题中应用此优化策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有一个背包，体积为 $m$ 。现在给出 $n$ 种物品，每种物品体积为 $a_i$ ，价值为 $b_i$ ，个数为 $c_i$ 。求这个背包能装下物品的最大价值为多少。

如果把第 $i$ 种物品拆成 $c_i$ 个物品来用01背包的方法做，则时间复杂度为 $O(m\sum c_i)$ ，在一些题目中会TLE。所以我们需要用到二进制优化。

对于题中的 $c_i$ ，我们可以把它分为 $2^t-1)+(c_i-2^t+1)$ ，其中 $t$ 是满足 $c_i-2^t+1\geq 0$ 的最大整数。

$2^t-1$ 可以分为 $1,2,4,\dots,2^{t-2},2^{t-1}$ ，这些数可以组成 $1$ 到 $2^t-1$ 中的所有数。

于是，我们可以将第 $i$ 种物品分成 $t + 1$ 组，第 $j$ 组物品 $(1\leq j\leq t)$ 有 $2^{j-1}$ 个，第 $t + 1$ 组物品有 $c_i-2^t+1)$ 个

假设第 $i$ 种物品需要放 $k$ 个

若 $1\leq k\leq 2^t-1$ ，显然以上的数据可以组成。

若 $2^t\leq k\leq c_i$
$2^t-(c_i-2^t+1)\leq k-(c_i-2^t+1)\leq c_i-(c_i-2^t+1)$
也就是 $2^{t+1}-c_i-1\leq k-(c_i-2^t+1)\leq 2^t-1$ 。
我们只需要用第 $1$ 到 $t$ 组物品凑出 $k-(c_i-2^t+1)$ 个，再加上第 $t + 1$ 组物品的 $c_i-2^t+1)$ 个，就得出 $k$ 个物品了。
用二进制可以很好地提高代码的效率，总时间复杂度为 $O(m\sum log c_i)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[10005],b[10005],c[10005],f[10005];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int v=1,p=a[i],q=b[i];
        while(c[i]>=v){
            c[i]-=v;
            for(int j=m;j>=p;j--){
                f[j]=max(f[j],f[j-p]+q);
            }
            v<<=1;
            p=a[i]*v;q=b[i]*v;
        }
        if(c[i]){
            p=a[i]*c[i];q=b[i]*c[i];
            for(int j=m;j>=p;j--){
                f[j]=max(f[j],f[j-p]+q);
            }
        }
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

例题HDU-1171 Big Event in HDU
可以用二进制优化

code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,sum,a,b,f[1000005];
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)){
        if(n<0) return 0;
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0]=1;sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            sum+=a*b;
            int v=1,p=a;
            while(b>=v){
                b-=v;
                for(int j=sum;j>=p;j--) f[j]|=f[j-p];
                v*=2;p=a*v;
            }
            if(b){
                p=a*b;
                for(int j=sum;j>=p;j--) f[j]|=f[j-p];
            }
        }
        for(int i=(sum+1)/2;;i++){
            if(f[i]){
                printf("%d %d\n",i,sum-i);
                break;
            }
        }
    }
}