13、基于采样保持函数的系统分析方法

基于采样保持函数的系统分析方法

1. 引言

在控制系统分析中，寻找合适的正交函数集来分析带有采样保持（S/H）装置的系统是一个重要的研究方向。最初，人们尝试使用著名的块脉冲函数（BPF）集，并定义块脉冲运算传递函数（BPOTF）来分析一些控制系统，虽然取得了一定的精度，但该方法无法区分输入采样系统和误差采样系统。之后，引入了S/H矩阵，但结果仍不够准确，且需要大量的组件BPF，导致存储量和计算时间增加。为了寻找更有效的技术，分段常数正交函数集——采样保持函数（SHFs）被引入。

2. 采样保持函数（SHF）简介

任何平方可积函数$f(t)$在半开区间$[0, T)$内都可以用SHF集表示，其展开式的第$(i + 1)$个分量为：
$f(t) \approx f(ih)f_i s_i(t)$，其中$ih \leq t < (i + 1)h$，$i = 0, 1, 2, \cdots, (m - 1)$
这里，$h$是采样周期，$f_i$是第$(i + 1)$个SHF分量$s_i(t)$的系数，$s_i(t)$的定义为：
[
s_i(t) =
\begin{cases}
1, & ih \leq t < (i + 1)h \
0, & \text{其他}
\end{cases}
]
SHF集的基本函数与BPF集的成员相似，但系数的计算方法不同。SHF域的展开系数不依赖于传统的积分公式，而是由以下关系确定：
$f_i = \int_{0}^{T} f(t) \delta(t - ih) dt$
其中，$\delta(t)$是著名的狄拉克