1、随机向量及其性质详解

随机向量及其性质详解

在模式识别和数据分析领域，随机向量及其性质是非常重要的基础概念。了解随机向量的分布、参数估计等知识，对于构建有效的分类器和进行数据处理至关重要。

1. 随机向量的分布

1.1 分布函数与密度函数

模式识别网络的输入通常是一个包含 $n$ 个变量的随机向量，可表示为 $x = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T$，其中 $T$ 表示向量的转置。

• 分布函数 ：随机向量可以用概率分布函数来描述，其定义为 $P(x_1, \cdots, x_n) = Pr[x_1 \leq X_1, \cdots, x_n \leq X_n]$，为了方便，常写成 $P(X) = Pr(X \leq x)$。这里 $Pr(A)$ 表示事件 $A$ 发生的概率。
• 密度函数 ：另一种描述随机向量的方式是密度函数，定义为 $p(X) = \lim_{\Delta x_1 \to 0, \cdots, \Delta x_n \to 0} \frac{Pr(x_1 < X_1 < x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n < X_n < x_n + \Delta x_n)}{\Delta x_1 \cdots \Delta x_n}$。反过来，分布函数可以用密度函数表示为 $P(X) = \int_{-\infty}^{X} p(Y) dY$。需要注意的是，密度函数 $p(X)$ 本身不是概率，必须乘以一定的区域 $\Delta x_1 \cdots \Delta x_n$ 才能得到概率。