4、分布式参数系统的滤波、平滑与预测：严格方法综述

分布式参数系统的滤波、平滑与预测：严格方法综述

1. 引言

从含噪观测中估计随机动力系统的状态是工程领域的核心问题之一。根据所研究的系统是集中在单个空间点（集总参数系统，LPS）还是占据一定的空间域（分布式参数系统，DPS），估计理论主要有两条途径。LPS 通常用常微分方程（ODE）建模，而 DPS 则用偏微分方程（PDE）建模。DPS 的实际例子包括核反应堆、热交换器、扩散过程、化学反应器、流体系统、振动系统、大气现象、干燥系统、石油、钢铁、造纸和玻璃工艺、磁流体动力学系统等。

近年来，关于 DP 估计理论的理论论文众多，涵盖了广泛的系统类别，包括具有偏积分 - 微分算子、时滞以及与 LPS 耦合的线性和非线性系统。在大多数关于 DP 估计问题的文献中，为随机干扰或噪声选择合适的数学模型至关重要。一些作者假设“无干扰”的动力系统由一个适定的偏积分 - 微分方程描述，并随意添加一些白噪声项，而未分析无限维白噪声建模的基本问题，这种方法称为“形式方法”。与之相对的是“严格方法”，其中 DP 随机过程以适当严格的方式定义。尽管“形式方法”看似缺乏严谨性，但在工程领域比严格方法更有价值，因为两种方法得到的估计器是相同的。此外，工程师的一个重要问题是如何构建和使用 DP 估计理论。从数学和工程的角度审视 DP 估计理论的严格方法也是可取的。

2. 基于维纳 - 霍夫理论的形式方法

2.1 动态系统描述

考虑一个线性随机 DPS，由以下 PDE 描述：
[
\frac{\partial u(t,x)}{\partial t} = A_xu(t,x) + b(t,x)w(t,x)
]
其中，(D) 是 (