VijosP1934属于她的幸福题解

- 题目来源

https://vijos.org/tests/54baa38517f3ca7b1f7ee2bb

• 描述
  曾几时，和木姑娘一起在独墅湖边的漫步，就成为了一个令我无限向往的梦。
  现在，这也只能永远只是梦了。木姑娘已经找到了属于她自己的幸福。
  夜晚的独墅湖边很凉，沿岸的n盏路灯将湖水圈在了光影之中。
  路灯被编号为0到n-1，围成一圈，0号路灯与n-1号路灯相邻。
  我独自坐在第0盏路灯下，却看到第x盏路灯下倚靠着的女孩。
  我想要过去找她，但是夜晚让我迷失了方向。
  每一分钟，我总会随机地走向相邻的某一柱路灯，究竟要多久才能走过去？究竟那女孩是不是木姑娘，还是我的幻境。

• 格式
  输入格式
  第一行给定整数T($\le$30)，表示数据组数。
  之后T行，每行给出2个整数n和x（$0\le x<n\le1000$）
  输出格式
  对于每一组数据，输出从0走到x期望情况下所需多少分钟，四舍五入保留到小数点后第四位。

• 样例输入
  3
  3 2
  5 4
  10 5

• 样例输出
  2.0000
  4.0000
  25.0000

• 限制
  对于30％的数据，n$\le$10；
  对于100％的数据，n$\le$1000；

• 题解
  本题与数学期望有关。
  我们定义$E(\xi)$表示与终点距离为$\xi$的点走到终点所需步数的期望值，那么显然有$E(0)=0$。
  对任意的$\xi$，考虑$\xi+1$与$\xi-1$，不难发现从$\xi$走到$\xi+1$或者$\xi-1$其中一个的概率均为0.5，走到这两个点中任意一个所需步数期望为1，那么$E(\xi)$可由$E(\xi+1)$和$E(\xi-1)$确定。
  实际上，

  $$\xi=\frac{(\xi+1)+(\xi-1)}{2}$$ 从而 $$E(\xi)=\frac{E(\xi+1)+E(\xi-1)}{2}+1$$
  代入$E(0)=0$，有$E(1)=\frac{E(2)}{2}+1$，即$E(2)=2E(1)-2*1$，然后可计算得$E(3)=3E(1)-3*2$，$E(4)=4E(1)-4*3,\ldots$
  最终，$E(\xi)=\xi E(1)-\xi(\xi-1)$
  又因为原图呈环状，所以$E(\xi)=E(n-\xi)$，$\xi=1$代入上式，有$E(\xi)=\xi(n-\xi)$，计算该式的时间复杂度为$O(1)$，问题解决。

• Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int T, n, x;
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &x);
        printf("%d.0000\n", x * (n - x));
    }
    return 0;
}