Codevs3657括号序列题解

• 题目描述 Description
  我们用以下规则定义一个合法的括号序列：
  （1）空序列是合法的
  （2）假如$S$是一个合法的序列，则$(S)$和$[S]$都是合法的
  （3）假如$A$和$B$都是合法的，那么$AB$和$BA$也是合法的
  例如以下是一些合法的括号序列：
  $(), [], (()), ([]), ()[], ()[()]$
  以下是一些不合法括号序列的：
  $(, [, ], )(, ([]), ([()$
  现在给定一些由$“(”,“)”,“[”,“]”$构成的序列 ，请添加尽量少的括号，得到一个合法的括号序列。

• 输入描述 Input Description
  输入包括号序列$S$。含最多100个字符（四种字符：$“(”,“)”,“[”，“]”$),都放在一行，中间没有其他多余字符。

• 输出描述 Output Description
  使括号序列S成为合法序列需要添加最少的括号数量。

• 样例输入 Sample Input
  $([()$

• 样例输出 Sample Output
  2

• 数据范围及提示 Data Size & Hint
  【样例说明】
  最少添加2个括号可以得到合法的序列：$()[()]$或$([()])$
  【数据范围】
  $S$的长度$\le$100 (最多100个字符)

• 题解
  又是序列的题目。先一看不能顺着推，再一看不能倒着推，所以想到区间dp。以$f[i][j]$表示把区间$[i,j]$添成合法括号所需的最小括号数。
  设某段序列为$S_0$，它对应区间为$[i,j]$，括号数为$f[i][j]$.
  若$S_0$形如$(S_1)$或$[S_1]$，$f[i][j]=\min\{f[i][j],f[i+1][j-1]\};$即令$S_1$合法后，$S$可合法。
  若$S_0$形如$(S_1$或$[S_1$，$f[i][j]=\min\{f[i][j],f[i][j-1]+1\};$即令$S_1$合法后，$S$可在最后添加一个括号后合法。
  同理，若$S_0$形如$S_1)$或$S_1]$，$f[i][j]=\min\{f[i][j],f[i+1][j]+1\};$
  无论$S_0$是什么情况，都有$f[i][j]=\min\{f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]\},i\le k<j;$即把序列分成两部分分别使其合法。

• Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 110;
const int oo = 0x3f3f3f;
char ch[maxn];
int f[maxn][maxn], n;
void init()
{
    scanf("%s", &ch);
    n = strlen(ch);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i][i] = 1;
}
void work()
{
    for(int p = 1; p < n; ++p) for(int i = 1; i <= n - p; ++i)
    {
        int j = p + i;
        f[i][j] = oo;
        if((ch[i - 1] == '(' && ch[j - 1] == ')') || (ch[i - 1] == '[' && ch[j - 1] == ']'))
            f[i][j] = f[i + 1][j - 1];
        if(ch[i - 1] == '(' || ch[i - 1] == '[') f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1] + 1);
        if(ch[j - 1] == ')' || ch[j - 1] == ']') f[i][j] = min(f[i][j], f[i + 1][j] + 1);
        for(int k = i; k < j; ++k) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j]);
    }
    printf("%d", f[1][n]);
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0; 
}