Codevs1497取余运算题解

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#数论 #高次幂取余

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本文介绍了一种解决大数幂取模问题的有效算法。利用欧拉定理将指数值缩小，结合快速幂运算实现高效计算。适用于处理计算机科学中涉及大数运算的场景。

题目描述 Description
输入b，p，k的值，编程计算 $b^p \mod k$ 的值。其中的b，p，k*k为长整型数( $2^{31}$ 范围内）。
输入描述 Input Description
b p k
输出描述 Output Description
输出b^p mod k=?
‘=’左右没有空格
样例输入 Sample Input
2 10 9
样例输出 Sample Output
2^10 mod 9=7
题解
这里p的值比较大，不能直接上快速幂。要用到一个公式：
$b^p\mod k=b^{p\mod \varphi(k)+\varphi(k)}\mod k,(p \ge\varphi(k))$ ，其中 $\varphi(k)$ 表示k的欧拉函数值，具体证明请自行参照网络资料。
这样就把p放缩到 $2*\varphi(k)$ 的范围里了，然后进行快速幂即可通过本题。
Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int b, p, k, phi[1 << 17];
void eulerPhi(int n)//筛出前n个数的欧拉函数，其实只要求出k的欧拉函数值即可
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) if(phi[i] == 0)
        for(int j = i; j <= n; j += i)
        {
            if(phi[j] == 0) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
        }
}
int qpow(int a, int n, int m)//对m取模的a的n次方快速幂
{
    int ans = 1;
    for(int t = a; n != 0; n >>= 1, t = (t % m) * (t % m) % m)
        if(n & 1) ans = (ans % m) * (t % m) % m;
    return ans;
}
int main()
{
    cin >> b >> p >> k;
    cout << b << "^" << p << " mod " << k << "=";
    eulerPhi(k);
    while(p >= 2*phi[k]) p = p % phi[k] + phi[k];//用上述公式缩小p
    cout << qpow(b, p, k) << endl;
    return 0;
}