卡特兰数 Catalan number

简介
         卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

catalan数的定义：

就可以很快想到结果就是第n个catalan

因为n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。而的进栈次数一定要大于等于出栈的次数，所以只要把进栈看做是+1出栈看做是-1，就是上面的定理了。下面贴出组合数学（Richard.A.Bruadli)关于这个定理的证明：

卡塔兰数的一般项公式为                      
另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

C_n的另一个表达形式为

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

hai可以这样推导出来：

 

n	推到过程	Cn
1	1	1
2	1  1	2
3	1  2  2	5
4	1  3  5  5	14
5	1  4  9  14  14	42
6	1  5  14  28  42  42	132
7	1  6  20  48  90  132  132	429
···	··· ···	···

所以，在做题的时候，我们应该用上面的公式Cn=Ck*Cn-k (k=1,2``n)来判断是否使用于katalan数来解决问题，合适就列出前几项来判断推到出答案

总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

1.括号化问题。

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)// by zj  h(n-1)// 因为这里只有n-1个成对

2.出栈次序问题。

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

（能构成h（N）个）

Catalan数的解法

Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

• Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

• Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

• Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

下面是一些大公司的笔试题

先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

C8=1430，所以总数=1430*8！*8！

2012腾讯实习招聘笔试题

在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

C3=5；所以总数为5*3！*3！=180.

12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种?
这个笔试题，很YD，因为把某个递归关系隐藏得很深。

问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，就对应一种方案。
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0，1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决.
如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数