NEFU 115 斐波那契的整除(数论&整除推导)

斐波那契的整除

http://acm.nefu.edu.cn/test/problemshow.php?problem_id=115

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已知斐波那契数列有如下递归定义，f(1)=1,f(2)=1, 且n>=3,f(n)=f(n-1)+f(n-2)，它的前几项可以表示为1， 1，2 ，3 ，5 ，8，13，21，34…，现在的问题是想知道f(n)的值是否能被3和4整除，你知道吗？

input

输入数据有若干组，每组数据包含一个整数n（1< n <1000000000）。

output

对应每组数据n，若 f(n)能被3整除，则输出“3”； 若f(n) 能被4整除，则输出“4”；如果能被12整除，输出“YES”；否则输出“NO”。

sample_input

4 6 7 12

sample_output

3 4 NO YES

观察斐波那契数列，发现f(4),f(8),f(12)都能被3整除，f(6),f(12),f(18)都能被4整除。

现证明f(4k)能被3整除：

设3|f(k)，由于f(k+4)=3f(k+1)+2f(k)，所以f(k+4)能被3整除，由归纳法可证f(4k)能被3整除。

对于f(6k)能被3整除，同理可证。

简单推导知，若12|f(n)，则12|n。

完整代码：

/*3ms,680KB*/

#include<cstdio>
using namespace std;

int main(void)
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n%12 == 0)
            printf("YES\n");
        else if( n % 4 == 0)
            printf("3\n");
        else if( n % 6 == 0)
            printf("4\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
    return 0;
}