动态规划(DP)——入门篇（11.24更新）

最新推荐文章于 2022-02-02 16:33:31 发布

synapse7

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分类专栏： acm之路--DP 算法详解&模板文章标签： acm c++ 动态规划 DP 状态转移

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/synapse7/article/details/16922779

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零、先修课程

首先，在开始理解DP的思想前，你需要

1. 完成HDU里面的递推求解专题练习（For Beginner）那7道题（这些题很简单，题解请在博客中搜索），这对你理解DP有很大的帮助。

2. 对递归搜索（比如深度优先搜索，DFS）有一定了解。

一、递归与记忆化搜索

我们从POJ 3176入手来学习这一思想。（题目很短，请快速读完）

从上往下看，最大和值无非是往左走和往右走这两条路的较大者。这样，我们可以写出下面这个重要的递归函数：（这里i表示行，j表示列）

int f(int i, int j)
{
	if (i == n - 1) return a[i][j];
	return a[i][j] + max(f(i + 1, j), f(i + 1, j + 1));
}

但是，当我们编完整个程序并通过了样例后，提交后却返回了一串鲜红的文字：

What happened?

我们仔细分析程序，发现当我们从(0,0)往下走时，路越走越多，和细胞分裂一样，最终的路大约有2^n条！

这实在是太吓人了，当我们回过神来，程序早已崩溃（爆栈）。

冷静点，孩子。让我们再仔细地看看所给的数据吧，嗯，一个三角形大小的数据，准确地说，是n(n+1)/2个数。

按常理来说，实际的路也只有约n^2条，怎么可能会产生指数级别的路径数呢？

没错，重复。

重复的计算造成了程序的最终崩溃，而减少重复的计算是程序优化的一个永恒的主题。

那么，重复在哪里，如何减少重复的计算？

再来看看题目所给的样例，我们把目光放在1这个点上：我们可以从7-3-1到达1，继续往下面算，也可以从7-8-1到达1，继续往下面算。因此，在上面的代码中，在1这个点我们算了两遍！同样的遭遇也发生在1下面的那些点中。大量的重复计算最终导致了指数条路径的产生。

所以，我们不妨在计算一个点之前，先看看它有没有已经被计算出来。

怎么看？嗯……也许我们需要一个辅助的数组来保存计算的结果，比如这样：

int f(int i, int j)
{
	if (dp[i][j] >= 0) return dp[i][j];
	if (i == n - 1) return dp[i][j] = a[i][j];
	return dp[i][j] = a[i][j] + max(f(i + 1, j), f(i + 1, j + 1));
}

由于a[i][j]可能为0，所以需要在main()中把dp初始化为-1：

memset(dp, -1, sizeof(dp));

最终，程序返回了我们想看到的结果：

此题的完整代码见这篇文章。

PS：关于打印路径的方法，见下面的第三部分。

二、递推与状态转移方程

在数据更大情况下，即使我们用了记忆化搜索，递归仍可能会爆栈。

为对付这种情况，需要逆向思考

注意到上面的return语句实际上可以写成这种形式：

dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1])

我们称其为状态转移方程。

如果在计算dp[i][j]时，dp[i + 1][j],和dp[i + 1][j + 1]都已经计算出来就好了，如何做到这一点呢？——从下往上计算。

for (i = n - 1; i >= 0; --i)
    for (j = 0; j <= i; ++j)
        if (i == n - 1) dp[i][j] = a[i][j];
        else dp[i][j] = a[i][j] + max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]);

最后dp[0][0]就是我们想要的结果。

但是注意到数组a本身就具有状态转移的性质，所以上面的代码可以继续化简为

for (i = n - 2; i >= 0; --i)
    for (j = 0; j <= i; ++j)
        a[i][j] += max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]);

最后a[0][0]就是我们想要的结果。

此题的完整代码见这篇文章。

三、打印路径

在进行状态转移时（上面代码中的比较大小部分），如果附带记录下转移的来源，最后通过递归即可完成路径的打印（见代码）。

递归的写法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 355;

int a[maxn][maxn], dp[maxn][maxn], n;
pair<int, int> path[maxn][maxn];

int f(int i, int j)
{
	if (dp[i][j] >= 0) return dp[i][j];
	if (i == n - 1) return dp[i][j] = a[i][j];
	if (f(i + 1, j) > f(i + 1, j + 1))
	{
		dp[i][j] = a[i][j] + f(i + 1, j);
		path[i][j] = make_pair(i + 1, j);
	}
	else
	{
		dp[i][j] = a[i][j] + f(i + 1, j + 1);
		path[i][j] = make_pair(i + 1, j + 1);
	}
	return dp[i][j];
}

void output(int i, int j)
{
	if (i == n - 1)
	{
		printf("%d %d\n", i, j);
		return;
	}
	printf("%d %d\n", i, j);
	output(path[i][j].first, path[i][j].second);
}

int main()
{
	int i, j;
	scanf("%d", &n);
	for (i = 0; i < n; ++i)
		for (j = 0; j <= i; ++j)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	printf("%d\n", f(0, 0));
	output(0, 0);
	return 0;
}

递推的写法：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 355;

int a[maxn][maxn], n;
pair<int, int> path[maxn][maxn];

void output(int i, int j)
{
	if (i == n - 1)
	{
		printf("%d %d\n", i, j);
		return;
	}
	printf("%d %d\n", i, j);
	output(path[i][j].first, path[i][j].second);
}

int main()
{
	int i, j;
	scanf("%d", &n);
	for (i = 0; i < n; ++i)
		for (j = 0; j <= i; ++j)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	for (i = n - 2; i >= 0; --i)
		for (j = 0; j <= i; ++j)
		{
			if (a[i + 1][j] > a[i + 1][j + 1])
			{
				a[i][j] += a[i + 1][j];
				path[i][j] = make_pair(i + 1, j);
			}
			else
			{
				a[i][j] += a[i + 1][j + 1];
				path[i][j] = make_pair(i + 1, j + 1);
			}
		}
	printf("%d\n", a[0][0]);
	output(0, 0);
	return 0;
}

四、更多类型的DP（请在博客中搜索）

LCS
LIS
DAG上的最长路
整数拆分
区间DP

五、后续内容

背包、树形DP、概率DP、状态压缩

由于0-1背包和完全背包经常与其他DP相组合，具有较强的综合性，我把相关内容放在后续的中级篇进行介绍，敬请期待……

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