23、基于PCA的源分离方法分析与改进

基于PCA的源分离方法分析与改进

1. UP - NMF算法的局限性

UP - NMF算法运行后，对应索引为m的给定类和所有像素的纯光谱估计值会在自适应矩阵˜R的固定索引行中得到（即行m, [m + M], …, [m + (P - 1) × M]）。即便在运行UP - NMF之前，这些行的初始化是一致的（例如，对于所有像素使用该类典型的相似光谱），但UP - NMF的更新规则会使它们最终的值差异较大。也就是说，该简单算法为每个类引入了大量的自适应光谱，但不能保证它们最终仍具有足够相似的特征来代表同一类材料。

2. 提出的惯性约束逐像素NMF方法

2.1 原理和代价函数

为了控制对应同一类材料的纯光谱估计值（每个像素一个）之间的离散程度，需要对UP - NMF算法进行扩展。通过在UP - NMF的代价函数中添加一个惩罚项来实现这一目的，该惩罚项用于衡量这些光谱的离散程度。利用PCA概念，我们选择所有M个类的惯性之和作为扩展方法的总体惩罚项。得到的代价函数如下：
[J_{ipnmf} = \frac{1}{2} | X - \tilde{C} \tilde{R} | F^2 + \mu \sum {m = 1}^{M} Tr(Cov(\tilde{R}_{C_m}))]
其中，IP - NMF表示该算法执行的是惯性约束逐像素NMF，正参数μ用于定义对惩罚项的重视程度。

2.2 基于梯度的算法

为了最小化代价函数(16)，采用梯度下降法，并结合在(R^{+*})上的投影和求和为一的归一化操作。首先将代价函数(16)重写为：
[J_{ipnmf} = J_{RE}