1、主成分分析（PCA）与稀疏主成分分析（Sparse PCA）技术解析

主成分分析（PCA）与稀疏主成分分析（Sparse PCA）技术解析

1. 主成分分析（PCA）概述

主成分分析（PCA）是一种广泛应用的矩阵分解技术，用于降维和揭示随机变量、信号或测量数据背后的隐藏因素。它本质上是一种从信号混合中提取单个信号的方法，其强大之处在于不同物理过程产生不相关信号的物理假设。

PCA的主要目标是减少具有大量相互关联变量的数据集中的维度，同时尽可能保留数据集中的变异信息。这一目标通过将数据转换为一组新的变量——主成分（PCs）来实现。这些主成分相互不相关，并且按照顺序排列，使得前几个主成分保留了原始变量中的大部分变异信息。

2. 稀疏主成分分析（Sparse PCA）的动机

在许多实际应用中，数据的各个维度通常具有物理意义。例如，在金融或生物应用中，每个维度可能对应于特定的资产或基因。然而，传统PCA得到的载荷通常是密集的，这使得通过内积得到的主成分是所有维度的混合，难以进行物理解释。

如果载荷中的大部分元素为零（即稀疏），那么每个主成分就变成了少数非零元素的线性组合，这有助于理解载荷和主成分的物理意义。此外，如果不同的载荷具有不同的非零元素，对应于不同的维度，那么物理解释将更加清晰。这就是稀疏PCA的动机所在。

3. 稀疏PCA涉及的问题

稀疏PCA试图找到一个稀疏的基，以使结果更具可解释性，同时要求该基能够忠实地表示数据分布。因此，在统计保真度和可解释性之间存在权衡。

过去十年中，提出了多种稀疏PCA方法，大多数方法考虑了稀疏性和解释方差之间的权衡，但有三个方面尚未得到足够的关注：
- 载荷的正交性