20、基变换：降维与FFT方法解析

基变换：降维与FFT方法解析

1. 主成分应用与问题规模简化

在某些情况下，主成分的应用变得易于处理，因为它仅应用于状态元素的单个列，而非整个域。这样做可以降低问题的规模和复杂度，具体如下表所示：
| 维度 | 原始空间问题数量 | 原始空间规模 | 原始空间复杂度 | 降维空间问题数量 | 降维空间规模 | 降维空间复杂度 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 2D | 1 | n × n | O(n⁶) | q | 1 × n | O(qn³) |
| 3D | 1 | n × n × n | O(n⁹) | q | n × n | O(qn⁶) |

尽管q个解耦问题中的每一个仍然是空间统计问题，但(\overline{Z})中的(d - 1)维空间模型与Z中的d维模型之间的关系通常并不明确。即使Z在所有维度上都是平稳的，q个变换后的问题也不会由单一模型控制，需要为每个新的解耦问题分别推导模型。一般来说，直接在(\overline{Z})中学习统计模型通常比尝试将模型从Z转换到(\overline{Z})更简单，例如从模拟或测量数据中学习。

2. 多维基降维

2.1 问题背景与变换

当多维问题平稳时，主成分可用于将其解耦为多个不相关的较小部分。但当模型在空间上非平稳，或者解耦成单独问题不方便或不可取时，可以考虑基降维，即把一个大问题(z \in R^n)表示在一个小得多的降维域(\overline{z} \in R^q)中。
我们考虑原随机域z与其降维对应物(\overline{z})之间的变换：