12、贝叶斯概率与曲线表面特性在机器学习中的应用

贝叶斯概率与曲线表面特性在机器学习中的应用

贝叶斯概率的多假设检验

在概率领域，我们常常会面临对各种假设进行验证的问题。贝叶斯方法为我们提供了一种有效的工具来处理这类问题。

当我们进行硬币翻转实验时，最初我们可能有这样的情况：在左上角和右下角的翻转情况中，结果更接近公平硬币的表现，并且先验概率朝着 1 移动。一般来说，我们观察的次数越多，就越能确定我们的假设是真是假。每次观察都会增加或减少我们对假设的信心。当观察结果与我们的先验假设（比如“我们有一枚公平的硬币”）相符时，我们对该先验假设的信心就会增强；反之，当观察结果与先验假设矛盾时，我们的信心就会降低。由于在这种情况下只有另一种替代假设（“我们有一枚作弊的硬币”），那么该替代假设就变得更有可能。

我们不仅可以对单个假设进行检验，还能同时处理多个假设。例如，我们可以同时更新“这枚硬币是公平的”和“这枚硬币是作弊的”这两个假设。由于这两个假设的概率之和为 1，所以我们只需跟踪其中一个假设的概率，就能知道另一个假设的概率。但如果需要，我们也可以使用两个贝叶斯规则的副本分别计算这两个假设的条件概率。

现在假设有一位考古学家朋友发现了一个装有新游戏道具的箱子，游戏使用袋子装着成对的硬币，而且袋子里的作弊硬币有不同的偏向性。她认为可能存在不同水平的玩家，新手玩家使用偏向性大的硬币，而熟练玩家则使用偏向性接近 0.5 的硬币，这样更难察觉，游戏也会更复杂。她把所有硬币倒在一个大箱子里，让我们找出每枚硬币的偏向性。

我们先假设只有五个可能的偏向值：0、0.25、0.5、0.75 和 1（其中 0.5 对应公平硬币），并创建五个假设：
| 假设编号 | 假设内容 |
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