10、概率、贝叶斯规则与实际应用

概率、贝叶斯规则与实际应用

1. 用概率表达抛硬币问题

在抛硬币的情境中，我们有公平硬币和作弊硬币。用概率术语来描述，得到公平硬币且抛出正面的概率记为 (P(H,F)) （等同于 (P(F,H)) ），得到作弊硬币且抛出正面的概率记为 (P(H,R)) 。

图中面积的比例可以解释为一个概率陈述。例如，已知硬币抛出正面，它是公平硬币的概率为 (P(F|H)) ，这就是我们要解决的条件概率问题。

一般情况下，我们可能不知道这些联合概率，不过可以通过两种不同但等价的方式来表示联合概率：
- 两个事件 (A) 和 (B) 的联合概率可以写成条件概率 (P(A|B)) 乘以 (B) 的概率 (P(B)) ，即 (P(A,B)=P(A|B) \times P(B)) 。
- 也可以写成条件概率 (P(B|A)) 乘以 (A) 的概率 (P(A)) ，即 (P(A,B)=P(B|A) \times P(A)) 。

下面我们来计算已知抛出正面时，硬币是公平硬币的概率 (P(F|H)) ：
- (P(F)) ：开始时选择公平硬币的概率，(P(F)=\frac{1}{2}) 。
- (P(R)) ：开始时选择作弊硬币的概率，(P(R)=\frac{1}{2}) 。
- (P(H|F)) ：选择公平硬币时抛出正面的概率，根据定义为 (\frac{1}{2}) 。
- (P(H|R)) ：选择作弊硬币时抛出正面的概率，为 (\frac{2}{3}) 。

将这些值代入公式计算 (P(F|H)) ：
[
\begin{align }
P(F|H)&=\frac{