25、圆形区域中具有非局部边界条件的抛物方程最优控制问题

圆形区域中具有非局部边界条件的抛物方程最优控制问题

1. 引言

在无限维最优控制问题的分析中，有多种经典和现代方法。其中，傅里叶方法在解决分布式系统的线性二次问题时，是一种强大的工具。在很多情况下，该方法能将初始问题分解为可数个一维最优控制问题。

我们要研究的是在圆形区域中，具有非局部边界条件的线性抛物方程的二次成本泛函最小化问题。对于拉普拉斯方程的此类边界值问题，利用双正交基函数系统已证明了其经典可解性。与椭圆方程的最优控制问题不同，这里的问题会被简化为一系列相互关联的无限维问题。通过使用傅里叶 - 贝塞尔级数，我们证明了对于特定的初始数据，在固定控制下相应的初边值问题是可解的，并且在对控制函数附加条件后，原最优控制问题也是可解的。

2. 问题设定

在区域 $Q = (0, T ) × Ω$（其中 $Ω = {(r, θ)|r ∈(0, 1), θ ∈(0, π)}$）中，我们需要找到状态函数 $y = y(t,r, θ)$ 和控制函数 $u = u(t, θ)$，满足以下条件：
[
\begin{cases}
\frac{\partial y}{\partial t} = \Delta y + g(r)u(t, θ), & (t,r, θ) ∈Q \
y(t, 1, θ) = 0, & t ∈(0, T ), θ ∈(0, π) \
y(t,r, 0) = 0, & t ∈(0, T ), r ∈(0, 1) \
\frac{\partial y}{\partial θ} (t,r, 0) = \frac{\partial y}{\partial θ} (t,r, π)