24、数据驱动的动态系统：理论、方法与应用

数据驱动的动态系统：理论、方法与应用

1. 动态系统概述

动态系统为描述周围世界提供了数学框架，用于建模随时间共同演化的量之间的丰富相互作用。它涉及对描述系统状态演化的微分方程或迭代映射系统的行为进行分析、预测和理解。这一概念涵盖了广泛的现象，包括经典力学系统、电路、湍流流体、气候科学、金融、生态、社会系统、神经科学、流行病学等几乎所有随时间演化的系统。

现代动态系统起源于庞加莱关于行星混沌运动的开创性工作，根植于经典力学，是数百年来数学建模的结晶。如今，动态系统正经历复兴，分析推导和第一性原理模型正让位于数据驱动的方法。大数据和机器学习的融合推动了科学和工程领域中动态系统分析和理解的范式转变。

1.1 动态系统的数学表示

1.1.1 连续时间系统

常见的动态系统形式为：
[
\frac{d}{dt}x(t) = f(x(t), t; \beta)
]
其中，(x) 是系统的状态，(f) 是可能依赖于状态 (x)、时间 (t) 和一组参数 (\beta) 的向量场。例如，洛伦兹方程：
[
\begin{cases}
\dot{x} = \sigma(y - x) \
\dot{y} = x(\rho - z) - y \
\dot{z} = xy - \beta z
\end{cases}
]
参数 (\sigma = 10)，(\rho = 28)，(\beta = \frac{8}{3})。洛伦兹系统是表现出混沌特性的简单且研究较多的动态系统之一，其对初始条件极为敏感。

以下是使用 MATL