16、布朗运动下 (ω ⊗S ω) 的构造与性质研究

布朗运动下 (ω ⊗S ω) 的构造与性质研究

1. (ω ⊗S ω) 的构造基础

考虑 ω 为具有正对称迹类协方差算子 Q 的迹类布朗运动，此时 ω 是赫斯特参数 H = 1/2 的迹类分数布朗运动。我们旨在为 (ω ⊗S ω) 的存在性制定比引理 10.2 假设更弱的条件，为此取 ˆV = Vκ 并确定 κ 需满足的条件。

将 (ω ⊗S ω) 分解为其分量，考虑 e−λit 给出的 S(t) 关于基 (ei)i∈N 的分解，当 l = j 时，(ω ⊗S ω) 可表示为：
[
\begin{align }
(E_{ij}(\omega \otimes_S \omega)(s, t), e_l \otimes_V e_k) {V \otimes V} &= \sqrt{q_j} \sqrt{q_k} \lambda_i^{\kappa} \int_s^t \int_s^{\xi} e^{-\lambda_i(\xi - r)} d\omega_j(r) \circ d\omega_k(\xi) \
&= \sqrt{q_j} \sqrt{q_k} \lambda_i^{\kappa} \left( \int_s^t (\omega_j(\xi) - \omega_j(s)) \circ d\omega_k(\xi) - \lambda_i \int_s^t \int_s^{\xi} e^{-\lambda_i(\xi - r)} (\omega_j(r) - \omega_j(s)) dr d\omega_k(\xi) \right) \
&= \sqrt{q_j} \sqrt{q_k} \lambda_i^{