9、非自治恒化器模型及相关系统的研究

非自治恒化器模型及相关系统的研究

1. 非严格双曲系统的 Riemann 问题相关解

在研究非严格双曲系统的 Riemann 问题时，对于 rs 型解和经典稀疏波不比较的情况，需要满足 $\beta \neq 0$。从该条件、不等式 $\rho > 0$ 以及等式 (5.49) 和 (5.50) 可得到：
[
\begin{cases}
(\beta - z)\dot{\rho} + 2\rho\dot{a} = 0, & z > \omega \
-\omega + \beta + 2a(\omega) = 0
\end{cases}
]
当 $\dot{\rho} = 0$，$\dot{a} = 0$ 且 $z > \omega$ 时，即 $\omega > U_+ + 2\sqrt{P’_+}$，上述方程组的第一个方程自动成立，此时 $\beta = \omega - 2a(\omega)$。所以，若条件 (5.46) 和关系 (5.52) 成立，则存在方程 (5.1) 的 rs 型解。

对于稀疏波的双前沿类似情况（sr 型），在满足跳跃符号条件 $[\rho] < 0$，$[U] < 0$，$[u^2] > 0$ 时，存在方程 (5.1) 的如下类型解：
[
\begin{cases}
\rho = \rho_- + [\rho]\theta(x - \omega t) \
U = U_- + [U]\theta(x - \omega t) \
u^2 = u^2_- + a(\frac{x}{t}) + \beta\the