空间向量两条不相交线段求公垂线段的长度以及公垂线段交点是否在线段内的方法

supermenxp

已于 2022-12-05 23:05:01 修改

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文章标签：算法

于 2022-12-05 21:49:41 首次发布

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如上图所示，空中两条不相交的线段AB和CD，假设O1O2线段是公垂线。

O1A和AC线段为两条辅助线。

根据向量计算规则，

$\underset{AC}{\rightarrow}=\underset{AO1}{\rightarrow}+\underset{O1C}{\rightarrow}(1)$

$\underset{AO1}{\rightarrow}=\underset{AO2}{\rightarrow}+\underset{O2O1}{\rightarrow}(2)$

$\underset{AC}{\rightarrow}=\underset{AO2}{\rightarrow}+\underset{O2O1}{\rightarrow}+\underset{O1C}{\rightarrow}(3)$

现在假设线段AO2与线段AB的长度之比值为x，线段CO1与线段CD的长度比值为y，O1O2线段长度为z， $\underset{O2O1}{\rightarrow}$ 向量的单位向量为 $\underset{r}{\rightarrow}$ ，则得出(4)式。

$\underset{AC}{\rightarrow}=x*\underset{AB}{\rightarrow}+y*\underset{DC}{\rightarrow}+z*\underset{r}{\rightarrow}(4)$

当x在0~1之间时，则垂足O2在线段AB内，同理y也有同样的性质。

因为O1O2为公垂线，则

$\underset{O2O1}{\rightarrow}=\underset{AB}{\rightarrow}\bigotimes \underset{DC}{\rightarrow}$

将 $\underset{O2O1}{\rightarrow}$ 进行归一化处理就得到单位向量 $\underset{r}{\rightarrow}$

假定以上的向量都是列向量，则可以以矩阵的形式列出下式

$\begin{bmatrix} \underset{AB}{\rightarrow} & \underset{DC}{\rightarrow}&\underset{r}{\rightarrow} \end{bmatrix}\ast \begin{Bmatrix} x\\ y \\ z \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \underset{AC}{\rightarrow}\end{Bmatrix}$

至此，则比较容易求解出x，y，z的值。

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