使用二进制位运算，代替十进制乘法（除法）运算

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  在嵌入式环境中虽然有乘法运算器，而且芯片运算速度越来越快，但位运算还是最快速的，为了提高计算效率，可以将乘法运算使用位运算替换。

乘法

原理

  若被乘数是2的整数倍，可以直接进行左移运算，这个比较简单，本文解释下当被乘数不是2的整数倍的情况，乘法进行位运算替换的基本原理，分两步

1. 因式分解： $A\ast (B+C)=A\ast B+A\ast C$
2. 位移替换乘法 ：$A\ast 2^n=A<<n$

十进制分解

  以10的整数倍为例，进行10进制替换：
$10=8+2=2^3+2^1$
$100=64+32+4=2^6+2^5+2^2$
$1000=1024-16-8=2^{10}-2^4-2^3$

程序示例

a = 543
m10 = 10 # 10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1
m100 = 100 # 100 = 64 + 32 + 4 = 2^6 + 2^5 + 2^2
m1000 = 1000 # 1000 = 1024 - 16 - 8 = 2^10 - 2^4 - 2^3

am10_cheng0 = a * m10
am100_cheng0 = a * m100
am1000_cheng0 = a * m1000
am10_cheng1 = (a << 3) + (a << 1)
am100_cheng1 = (a << 6) + (a << 5) + (a << 2)
am1000_cheng1 = (a << 10) - (a << 4) - (a << 3)
print ("乘以10:",am10_cheng0,"  ",am10_cheng1)
print ("乘以100:",am100_cheng0,"  ",am100_cheng1)
print ("乘以1000:",am1000_cheng0,"  ",am1000_cheng1)

运算结果

  将源码保存为python文件，使用python直接执行可以查看结果，结果如下：

除法

原理

  跟乘法类似，若分母为2的整数倍，则直接进行右移运算，但若分母不是2的整数倍，则需要对分母进行分解。不过由于除法不能直接分解分母，需要将分母作为独立项进行拆分，除法位运算替换的基本原理，分三步

1. 分子分母分离：$\frac{B}{A}=B\ast \frac{1}{A}$
2. 分母算术分解： $\frac{1}{A}=\sum \frac{1}{2^n}$
3. 位移替换乘法 ：$\frac{B}{2^n}=B>>n$

十进制分解

  由于第二步的分母算术分解不容易，即不容易找到精确解，因此分数分解为$\frac{1}{2}$的整数倍的和比较麻烦，而且若需要较高精度则需要更高阶的倍数，即其中的n要很大，以10为例：

$\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}+\frac{1}{512}=0.0996\approx 0.1=\frac{1}{10}$

  若在有限位内可以找到精确解，即灯饰两边刚好相等，而不是约等于，则可以进行分解运算，但是这样多运算也许并不比直接除法更快，因此如果除法的分母不是2的整数倍，而且并没有确定的分解方式，可以考虑直接使用除法。

$\frac{1}{10}\approx \frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}+\frac{1}{512}+\frac{1}{4096}=\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{12}}$

程序示例

a = 543
m10 = 10 

# 1/10 ~= 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + 1/4096 
#       = 1/2^4 + 1/2^5 + 1/2^8 + 1/2^9 + 1/2^12
am10_chu0 = int(a / m10)
am10_chu1 = (a >> 4) + (a >> 5) + (a >> 8) + (a >> 9) + (a >> 12)
print ("除以10:",am10_chu0,"  ",am10_chu1)

运算结果

  将源码保存为python文件，使用python直接执行可以查看结果，结果如下：