【bzoj3130】【SDOI2013】【费用流】【最大流】

最新推荐文章于 2023-06-14 13:33:54 发布

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本文介绍了一种结合最大流和费用优化的问题解决方法。通过确定最大流并进行费用分配，使得总费用达到最优。文章详细解释了问题背景，并提供了解决方案及实现代码。

Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

HINT

【样例说明】

    对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

    对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用

为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

    对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。

    对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。

    对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

题解：

第一问就是裸最大流。

第二问可以发现我们肯定把所有的费用都放到流量最大的边上。

所以在保证最大流不变的前提下只要让流量最大的边最小即可。

这个可以二分答案

每次把所有边的容量都设成二分的值,检验最大流是否发生变化即可。

因为没有保证流量是整数,所以需要实数二分.

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 110
#define M 1010
#define eps 1e-5
#define inf 2100000000
using namespace std;
int point[N],next[M<<1],n,m,p,cnt(1);
int gap[N],dis[N],pre[N],T,cur[N],x,y;
double mx,v;
struct use{
  int st,en;
  double v;
}e[M<<1];
void add(int x,int y,double v){
  next[++cnt]=point[x];point[x]=cnt;
  e[cnt].st=x;e[cnt].en=y;e[cnt].v=v;
  next[++cnt]=point[y];point[y]=cnt;
  e[cnt].st=y;e[cnt].en=x;e[cnt].v=0;
}
double isap(){
  int u,i,f;
  double mn,ans(0);
  memset(gap,0,sizeof(gap));
  memset(dis,0,sizeof(dis));
  gap[0]=T;u=1;
  for (i=1;i<=T;i++) cur[i]=point[i];
  while (dis[1]<T){
    f=false;
	for (i=cur[u];i;i=next[i])
	  if (e[i].v&&dis[e[i].en]+1==dis[u]){cur[u]=i;f=1;break;}
	if (f){
	  pre[u=e[i].en]=i;
	  if (u==T){
	    mn=inf;
	    for (i=T;i!=1;i=e[pre[i]].st) mn=min(mn,e[pre[i]].v);
	    ans+=mn;
	    for (i=T;i!=1;i=e[pre[i]].st) e[pre[i]].v-=mn,e[pre[i]^1].v+=mn;
	    u=1;
	  }
	}
   else{
     gap[dis[u]]--;if (!gap[dis[u]]) return ans;
     int x=T;
	 for (i=point[u];i;i=next[i])
       if (e[i].v) x=min(x,dis[e[i].en]);
     gap[dis[u]=x+1]++;cur[u]=point[u];if (u!=1) u=e[pre[u]].st;
   }
  }
  return ans;
}
void build(double x){
  for (int i=2;i<=cnt;i+=2)
    e[i].v=x,e[i^1].v=0; 	
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);T=n;
  for (int i=1;i<=m;i++){
    scanf("%d%d%lf",&x,&y,&v);
    add(x,y,v);
  }
  mx=isap();printf("%.0lf\n",mx);
  double l=0.0,r=50000.0;
  while (r-l>eps){
    double mid=(l+r)/2;
    build(mid);
    if (isap()>=mx) r=mid;
	else l=mid; 
  }	
  mx=l*(double)p;
  printf("%.4lf",mx);
}