无向图的直径以及树的直径

转载：http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/Path3.html

在一張無向圖上面，給定圖上一點，以最短路徑長度當作距離，找出離此點最遠的一點，這兩點之間的距離就叫做「偏心距」。

要計算一張無向圖的直徑與半徑是很簡單的，首先算好所有兩點之間最短路徑，然後按照定義來算就可以了。

先用floyd算法，再找最长的即可

1. int d[10][10];  // adjacency matrix
2. int ecc[10];    // 各點的偏心距
3.  
4. void diameter_radius()
5. {
6.     // Floyd-Warshall Algorithm
7.     for (int k=0; k<10; ++k)
8.         for (int i=0; i<10; ++i)
9.             for (int j=0; j<10; ++j)
10.                 d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
11.  
12.     // 計算偏心距
13.     memset(ecc, 0x7f, sizeof(ecc));
14.     for (int i=0; i<10; ++i)
15.         for (int j=0; j<10; ++j)
16.             ecc[i] = min(ecc[i], d[i][j]);
17.  
18.     // 計算直徑和半徑
19.     int diameter = 0;
20.     int radius = 1e9;
21.     for (int i=0; i<10; ++i)
22.     {
23.         diameter = max(diameter, ecc[i]);
24.         radius   = min(radius  , ecc[i]);
25.     }
26.  
27. /*
28.     // 直徑也可以這樣算
29.     for (int i=0; i<10; ++i)
30.         for (int j=0; j<10; ++j)
31.             diameter = max(diameter, d[i][j]);
32. */
33. }

树形图的最长路径（边无权重）

方法1：

一棵無根樹的「直徑」，就是相離最遠的兩個點的距離。

稍微修改一下計算高度的程式碼，就可以順便計算直徑。

樹的直徑，邊無權重（adjacency matrix）

1. bool adj[9][9];
2. int diameter = 0;
3.  
4. int DFS(int x, int px)  // px是x的父親
5. {
6.     int h1 = 0, h2 = 0; // 紀錄最高與次高的高度
7.     for (int y=0; y<9; ++y)
8.         if (adj[x][y] && y != px)//记录父亲节点，防止重复访问
9.         {
10.             int h = DFS(y, x) + 1;
11.             if (h > h1) h2 = h1, h1 = h;
12.             else if (h > h2) h2 = h;
13.         }
14.     diameter = max(diameter, h1 + h2);
15.     return h1;
16. }
17.  
18. void tree_diameter()
19. {
20.     diameter = 0;   // 初始化
21.  
22.     int root = 0;   // 隨便選一個樹根
23.     DFS(root, root);
24.     cout << "樹的直徑是" << diameter;
25. }

一棵樹的各種直徑一定會相交在同一點（同一群點）。

1.
反證法。
現在有兩條分開的直徑，
可是一棵樹上各點都得連通，
所以這兩條分開的直徑，中間一定有某處互相連接，
一旦連接起來，勢必變成更長的直徑，矛盾。
故所有直徑必相交。

2.
反證法。
現在已有兩條直徑相交在某一點，
如果另外一條直徑與這兩條直徑相交在另一點，
勢必變成更長的直徑，矛盾。
故所有直徑必相交在同一點（同一群點）。

方法二：

在一个迷宫中找距离最长的两个点。迷宫可以看作是一个无根树，因此，这个问题等价与在一个树形图中找最远的两个节点，也叫做这个图的直径。

迷宫、树形图有个很好的特点：任意两个节点之间的距离就是这两点之间的最短路径、也是两个节点的最长路径，也可以说任意两个节点之间的距离一定。基于这个想法，可以很快想到：穷举每个点对，计算其距离，取最大值，即可。这个计算量比较大，思想上可行，实践起来，时间代价有点不靠谱。查了下，已经有好的解决方案了：

1 取任意节点作为起点，找出到该点最远的点，记为A；

2 以点A为起点，找出到该点最远的点，记为B；

AB之间的距离，就是图中距离最远的两个点的距离（这样的点对可能有多个，但最大距离值只有一个）。

因此，两次dfs即可搞定。也可以用bfs

代码如下：

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

 

int m,n;

int f[4][2] = {{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};

char map[1002][1002];

bool flag[1002][1002];

 

int max,step,maxM,maxN;

int si,sj;

 

void dfs(int i,int j)

{

    int ii,a,b;

    for(ii=0;ii<4;ii++)

    {

        a = i+ f[ii][0];

        b = j+ f[ii][1];

        if(a>=0 && a<m && b>=0 && b<n && map[a][b]=='.' && flag[a][b])

        {

            step++;

            flag[a][b] = false;

            if(max < step)

            {

                max = step;

                maxM = a;

                maxN = b;

            }

            dfs(a,b);

            flag[a][b] = true;

            step--;

        }

    }

}

int main()

{

    int t,i,j;

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        si = -1;

        for(i=0;i<m;i++)

        {

            scanf("%s",map[i]);

            if(si==-1)

                for(j=0;j<n;j++)

                    if(map[i][j]=='.')

                    {

                        si = i;

                        sj = j;

                        break;;

                    }

        }

        

        memset(flag, true, sizeof(flag));

        flag[si][sj] = false;

        max = 0;

        step = 0;

        dfs(si,sj);

        

        memset(flag, true, sizeof(flag));

        flag[maxM][maxN] = false;

        max = 0;

        step = 0;

        dfs(maxM, maxN);

        

        printf("Maximum rope length is %d.\n",max);

    }

    system("pause");

    return 0;

}

如果边有权重的话，感觉着两个算法也能正常工作