无向图的直径以及树的直径

转载:http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/Path3.html

在一張無向圖上面,給定圖上一點,以最短路徑長度當作距離,找出離此點最遠的一點,這兩點之間的距離就叫做「偏心距」。


要計算一張無向圖的直徑與半徑是很簡單的,首先算好所有兩點之間最短路徑,然後按照定義來算就可以了。


先用floyd算法,再找最长的即可


  1. int d[10][10];  // adjacency matrix
  2. int ecc[10];    // 各點的偏心距
  3.  
  4. void diameter_radius()
  5. {
  6.     // Floyd-Warshall Algorithm
  7.     for (int k=0k<10; ++k)
  8.         for (int i=0i<10; ++i)
  9.             for (int j=0j<10; ++j)
  10.                 d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
  11.  
  12.     // 計算偏心距
  13.     memset(ecc0x7fsizeof(ecc));
  14.     for (int i=0i<10; ++i)
  15.         for (int j=0j<10; ++j)
  16.             ecc[i] = min(ecc[i], d[i][j]);
  17.  
  18.     // 計算直徑和半徑
  19.     int diameter = 0;
  20.     int radius = 1e9;
  21.     for (int i=0i<10; ++i)
  22.     {
  23.         diameter = max(diameterecc[i]);
  24.         radius   = min(radius  , ecc[i]);
  25.     }
  26.  
  27. /*
  28.     // 直徑也可以這樣算
  29.     for (int i=0; i<10; ++i)
  30.         for (int j=0; j<10; ++j)
  31.             diameter = max(diameter, d[i][j]);
  32. */
  33. }


树形图的最长路径(边无权重)

方法1:

一棵無根樹的「直徑」,就是相離最遠的兩個點的距離。

稍微修改一下計算高度的程式碼,就可以順便計算直徑。

樹的直徑,邊無權重(adjacency matrix)
  1. bool adj[9][9];
  2. int diameter = 0;
  3.  
  4. int DFS(int xint px)  // px是x的父親
  5. {
  6.     int h1 = 0h2 = 0// 紀錄最高與次高的高度
  7.     for (int y=0y<9; ++y)
  8.         if (adj[x][y] && y != px)//记录父亲节点,防止重复访问
  9.         {
  10.             int h = DFS(yx) + 1;
  11.             if (h > h1h2 = h1h1 = h;
  12.             else if (h > h2h2 = h;
  13.         }
  14.     diameter = max(diameterh1 + h2);
  15.     return h1;
  16. }
  17.  
  18. void tree_diameter()
  19. {
  20.     diameter = 0;   // 初始化
  21.  
  22.     int root = 0;   // 隨便選一個樹根
  23.     DFS(rootroot);
  24.     cout << "樹的直徑是" << diameter;
  25. }

一棵樹的各種直徑一定會相交在同一點(同一群點)。

1.
反證法。
現在有兩條分開的直徑,
可是一棵樹上各點都得連通,
所以這兩條分開的直徑,中間一定有某處互相連接,
一旦連接起來,勢必變成更長的直徑,矛盾。
故所有直徑必相交。

2.
反證法。
現在已有兩條直徑相交在某一點,
如果另外一條直徑與這兩條直徑相交在另一點,
勢必變成更長的直徑,矛盾。
故所有直徑必相交在同一點(同一群點)。

方法二:

在一个迷宫中找距离最长的两个点。迷宫可以看作是一个无根树,因此,这个问题等价与在一个树形图中找最远的两个节点,也叫做这个图的直径。

迷宫、树形图有个很好的特点:任意两个节点之间的距离就是这两点之间的最短路径、也是两个节点的最长路径,也可以说任意两个节点之间的距离一定。基于这个想法,可以很快想到:穷举每个点对,计算其距离,取最大值,即可。这个计算量比较大,思想上可行,实践起来,时间代价有点不靠谱。查了下,已经有好的解决方案了:

1 取任意节点作为起点,找出到该点最远的点,记为A;

2 以点A为起点,找出到该点最远的点,记为B;

AB之间的距离,就是图中距离最远的两个点的距离(这样的点对可能有多个,但最大距离值只有一个)。

因此,两次dfs即可搞定。也可以用bfs

代码如下:

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

 

int m,n;

int f[4][2] = {{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};

char map[1002][1002];

bool flag[1002][1002];

 

int max,step,maxM,maxN;

int si,sj;

 

void dfs(int i,int j)

{

    int ii,a,b;

    for(ii=0;ii<4;ii++)

    {

        a = i+ f[ii][0];

        b = j+ f[ii][1];

        if(a>=0 && a<m && b>=0 && b<n && map[a][b]=='.' && flag[a][b])

        {

            step++;

            flag[a][b] = false;

            if(max < step)

            {

                max = step;

                maxM = a;

                maxN = b;

            }

            dfs(a,b);

            flag[a][b] = true;

            step--;

        }

    }

}

int main()

{

    int t,i,j;

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        si = -1;

        for(i=0;i<m;i++)

        {

            scanf("%s",map[i]);

            if(si==-1)

                for(j=0;j<n;j++)

                    if(map[i][j]=='.')

                    {

                        si = i;

                        sj = j;

                        break;;

                    }

        }

        

        memset(flag, true, sizeof(flag));

        flag[si][sj] = false;

        max = 0;

        step = 0;

        dfs(si,sj);

        

        memset(flag, true, sizeof(flag));

        flag[maxM][maxN] = false;

        max = 0;

        step = 0;

        dfs(maxM, maxN);

        

        printf("Maximum rope length is %d.\n",max);

    }

    system("pause");

    return 0;

}


如果边有权重的话,感觉着两个算法也能正常工作


<think>首先,用户的问题是:“我想查找计算直径算法或方法 请问如何计算直径 算法”。用户要求关于如何计算直径算法。 根据系统级指令: - 所有行内数学表达式必须使用 $...$ 格式。 - 独立公式必须使用 $$...$$ 格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如 [^1]。 用户可见层的指令: - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 参考站内引用: - [^1]:直径计算:算法详解与实现。介绍了直径的定义、应用和一种高效算法。 - [^2]:详解直径算法,提到使用 $dp$ 和 $dp2$ 数组来维护最长和次长路径。 - [^3]:求直径算法以及证明,提供了算法步骤和证明。 - [^4]:直径的证明和情况分析。 - [^5]:C++代码实现,使用两次DFS来计算直径。 从这些引用中,我可以提取关键信息: - 直径定义为中任意两点间最长路径的长度。 - 常见算法有两种:一种是两次DFS/BFS,另一种是形DP。 - 两次DFS方法:从任意点开始DFS找到最远点,然后从该点DFS找到最远点,第二次的距离就是直径。 - 形DP方法:维护每个节点的最长路径和次长路径,直径是这些路径和的最大值。 我的回答应该结构清晰: 1. 解释什么是直径。 2. 介绍算法方法。 3. 提供伪代码或代码示例。 4. 分析时间复杂度和应用。 5. 生成相关问题。 使用中文回答。 步骤: 1. 开头介绍直径。 2. 详细解释两种主要算法:两次DFS和形DP。 3. 提供代码示例,参考引用中的代码。 4. 讨论时间复杂度和应用。 5. 结尾生成相关问题。 确保数学表达式正确: - 例如,路径长度表示为 $|P|$,直径表示为 $\text{diameter}$。 - 独立公式如算法复杂度用 $$...$$。 生成相关问题: - 基于主题,如优化、证明、应用等。 最终回答结构: - 标题或开头:计算直径算法 - 内容分步骤。 - 代码块用 ``` ``` 格式。 - 结尾添加相关问题。</think>### 直径计算算法详解 直径(Tree Diameter)是指中任意两个节点之间最长路径的长度。在图论中,是一种无环连通图,计算其直径在多个领域有重要应用,如网络路由优化、生态学中的物种分布分析,以及分布式系统中的通信延迟估计[^1]。下面我将逐步解释两种高效计算直径算法:**两次DFS/BFS法**和**形DP法**。所有算法均基于的无环特性,时间复杂度为 $O(n)$,其中 $n$ 是节点数。 --- #### 1. 算法原理与步骤 **方法一:两次DFS/BFS法(推荐,简单高效)** 该方法基于一个关键性质:从任意节点出发,找到最远节点 $u$,再从 $u$ 出发找到最远节点 $v$,则 $u$ 到 $v$ 的路径即为直径。证明如下: - 设直径为 $AB$,$u$ 是第一次DFS找到的最远点。 - 如果 $u$ 在直径上,则从 $u$ 到 $A$ 或 $B$ 的距离最大,即为直径。 - 如果 $u$ 不在直径上,则存在路径 $u \to v$ 使得 $|uv| > |AB|$,矛盾[^3]。 因此,算法步骤为: 1. 从任意节点(如节点 1)开始,执行 DFS 或 BFS,找到距离最远的节点 $u$。 2. 从节点 $u$ 开始,再次执行 DFS 或 BFS,找到距离最远的节点 $v$。 3. $u$ 到 $v$ 的路径长度即为直径。 **方法二:形DP法(动态规划)** 该方法适用于需要同时计算其他指标的场景。核心思想是:对每个节点 $i$,维护其子中的最长路径长度 $dp_i$ 和次长路径长度 $dp2_i$,直径是 $\max(dp_i + dp2_i)$。 - 状态定义: - $dp_i$:从节点 $i$ 出发的最长路径长度。 $dp2_i$:从节点 $i$ 出发的次长路径长度(不与最长路径共享边)。 - 转移方程: 在 DFS 遍历中,对每个子节点 $j$,更新: $$ \text{if } \text{dist}(i,j) + dp_j > dp_i \text{ then } dp2_i \gets dp_i, dp_i \gets \text{dist}(i,j) + dp_j $$ 否则,如果 $\text{dist}(i,j) + dp_j > dp2_i$,则更新 $dp2_i$。 - 最终直径:$\max_{i \in V}(dp_i + dp2_i)$,其中 $V$ 是节点集[^2]。 两种方法比较: - 两次DFS法:实现简单,适合只求直径的场景。 - 形DP法:可扩展性强,能同时求直径路径或处理加权。 时间复杂度均为 $O(n)$,空间复杂度 $O(n)$。 --- #### 2. 代码实现示例 以下提供两种算法的 C++ 实现(基于引用[^5]和[^2]的优化)。代码使用邻接表存储,每条边有权重(未加权时权重设为 1)。 **两次DFS法实现**: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cstring> using namespace std; const int N = 100010; struct Edge { int id, w; // id: 相邻节点, w: 边权重 }; vector<Edge> graph[N]; // 邻接表存储 int dist[N]; // 存储从起点到各节点的距离 // DFS函数:u当前节点, father父节点(防回环), distance当前距离 void dfs(int u, int father, int distance) { dist[u] = distance; for (auto &edge : graph[u]) { if (edge.id != father) { // 避免回环 dfs(edge.id, u, distance + edge.w); } } } int main() { int n; // 节点数 cin >> n; // 构建无向图) for (int i = 0; i < n - 1; i++) { int a, b, c; cin >> a >> b >> c; // 输入边:节点a,b和权重c graph[a].push_back({b, c}); graph[b].push_back({a, c}); } // 第一次DFS:从节点1开始,找最远点u dfs(1, -1, 0); int u = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (dist[i] > dist[u]) u = i; } // 第二次DFS:从u开始,找最远点v dfs(u, -1, 0); int v = u; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (dist[i] > dist[v]) v = i; } int diameter = dist[v]; // u到v的距离即为直径 cout << "直径为: " << diameter << endl; return 0; } ``` **形DP法实现**: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 100010; struct Edge { int id, w; }; vector<Edge> graph[N]; int dp[N]; // 最长路径长度 int dp2[N]; // 次长路径长度 int diameter = 0; // 全局直径 // DFS遍历更新dp和dp2 void dfs(int u, int father) { for (auto &edge : graph[u]) { int v = edge.id, w = edge.w; if (v == father) continue; // 跳过父节点 dfs(v, u); // 更新最长和次长路径 int path = dp[v] + w; if (path > dp[u]) { dp2[u] = dp[u]; dp[u] = path; } else if (path > dp2[u]) { dp2[u] = path; } } diameter = max(diameter, dp[u] + dp2[u]); // 更新全局直径 } int main() { int n; cin >> n; for (int i = 0; i < n - 1; i++) { int a, b, c; cin >> a >> b >> c; graph[a].push_back({b, c}); graph[b].push_back({a, c}); } memset(dp, 0, sizeof dp); memset(dp2, 0, sizeof dp2); dfs(1, -1); // 从根节点开始DFS cout << "直径为: " << diameter << endl; return 0; } ``` --- #### 3. 算法分析与应用 - **时间复杂度**:两种方法均为 $O(n)$,因为每个节点和边只访问一次。 - **空间复杂度**:$O(n)$,用于存储距离或DP数组。 - **应用场景**: - 网络设计:优化数据中心拓扑以减少最大通信延迟[^1]。 - 生态学:分析物种在状栖息地中的最远扩散距离[^4]。 - 算法竞赛:作为基础组件用于路径查询或分治问题。 - **注意事项**: - 必须连通;若为森林(多棵),需对每棵单独计算。 - 加权中,权重可为负,但需确保无负环(天然无环)。 通过以上方法,您可以高效计算直径。如需进一步验证,数学证明见引用[^3][^4]。
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