【学习笔记】关于最大公约数(gcd)的定理

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本文探讨了最大公约数(gcd)的两个重要结论，包括gcd(xa-1, xb-1)与xgcd(a, b)的关系，以及gcd(Fib(a), Fib(b))与Fib(gcd(a, b))的等价性。通过数学归纳法证明了这些结论，并展示了这些理论在Fibonacci数列中的应用。结论指出，对于gcd(a, b) = 1的递推关系式，有gcd(f(a), f(b)) = f(gcd(a, b))。" 133158437,19671514,Math.random()在JavaScript中是否包含0的值,"['javascript', '编程', 'ecmascript']

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结论1

gcd⁡(xa−1,xb−1)=xgcd⁡(a,b)−1\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1
证明:
采用数学归纳法。
令a=kb+pa=kb+pa=kb+p, 则有gcd⁡(xa−1,xb−1)=gcd⁡(xkb+p−1,xb−1)=gcd⁡(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd⁡(xp−1,xb−1)=gcd⁡(xb−1,x(amod  b)−1)\gcd(x^a-1,x^b-1)=\gcd(x^{kb+p}-1,x^b-1)=\gcd(x^p(x^{kb}-1)+x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^b-1,x^{(a\mod b)}-1)gcd(xa−1,xb−1)=gcd(xkb+p−1,xb−1)=gcd(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd(xp−1,xb−1)=gcd(

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最大公约数GCD
qq_37720915的博客
03-03 3907
题目描述 两个正整数的最大公约数（GCD）是能够整除这两个整数的的最大整数。 计算GCD有三种方法： （1）穷举法：由于a，b的最大公约数不可能比a和b中的较小者还大，否则一定不能整除它。因此先找到a和b中的较小者t，然后从t开始逐次减1尝试每种可能，即检验t到1之间所有正整数，第一个满足公约数条件的t，就是a和b的最大公约数。 （2）欧几里得算法，也称辗转相除法。对正整数a和b，连续进行...
最大公约数 存在性定理
dwb18505113983的博客
12-01 758
最大公约数 存在性定理 描述 任意n(n>=2)个整数a1,a2,…,an,都有最大公约数.如果d是最大公约数，则-d也是最大公约数;a1,a2,…,an的最大公约数至多相差一个符号. 证明 若a1,a2,…,an全为0，那么它们有且只有一个最大公约数0. 若a1,a2,…,an不全为0 构建集合S,S={∑1ntiai∣t1,t2,...,tn∈{1,2,...,n}}S = \{\sum_1^nt_ia_i|t_1,t_2,...,t_n\in \{1,2,...,n\}\}S={∑1n​ti​
最大公约数的一些定理
Keep moving and looking forward
02-26 5690
原文地址：http://blog.youkuaiyun.com/zzxyyx_1/article/details/8639552 定理1：gcd(a,b)能整除所有a,b的公因子。 定理2：若d=gcd(a,b)那么gcd(a/d,b/d)=1。 定理3：gcd(a,b)=gcd(a+cb,b)。 定理4：gcd(a,b)是ax+by中最小的正整数。 推论4.1：若gcd(a
GCD的一些原理
zhangshichi的博客
04-15 1572
GCD核心概念 1、将任务添加到队列，并且制定执行任务的函数、 2、任务使用 block 封装       任务的 block 没有参数也没有返回值 3、执行任务的函数       异步 dispatch_async               不用等待当前语句执行完毕，就可以执行下一条语句              会开启线程执行block任务              异步 是
最大公约数与最小公倍数学习笔记
Richard_1101的博客
07-27 1790
最大公因数与最小公倍数
c语言辗转求最小公倍数,c语言：辗转相除法求最大公约数、最小公倍数
weixin_30988079的博客
05-16 2103
辗转相除法，又称欧几里得算法。两个正整数a和b(a>b)，它们的最大公约数等于余数c和较小的数b之间的最大公约数。最小公倍数=两数之积/最大公约数#include int get1(int a, int b){if (a < b){int c = a;a = b;b = c;}while (a%b != 0){b = a%b;a = b;}return b;}int get2(int ...
数论部分学习笔记-by BeiYu
02-21
数论有很多重要的公式和定理，以下是数论学习笔记的一些重要知识点： 一、同余性质 1. 反身性：a≡a（mod m） 2. 对称性：若 a≡b（mod m），那么 b≡a（mod m） 3. 传递性：若 a≡b（mod m），b≡c（mod m），...
初级数学 学习笔记
最新发布
scy923的博客
01-07 1781
数论基本概念 1. 整除法 n=ak+r(0≤r<a)→k=⌊na⌋ n = ak + r(0 \le r < a) \to k = \lfloor \frac{n}{a} \rfloor n=ak+r(0≤r<a)→k=⌊an​⌋ 2. 算数基本定理 pip_ipi​ 为素数，且 pi<pi+1p_i < p_{i + 1}pi​<pi+1​，则有： n=p1a1p2a2⋯pmam n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_m ^ {
最大公约数gcd
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03-11 333
#include &amp;amp;amp;amp;amp;lt;stdio.h&amp;amp;amp;amp;amp;gt; //求最大公约数的辗转相除法递归写法 int gcd(int a, int b) { if( b== 0) return a; else return gcd(b,a % b); //return !b?a:gcd(b,a%b); } int main(){ int m, n; while(scanf(&amp;amp;amp;
最大公约数——gcd
hehepig的博客
01-08 555
这里写一下gcd的求法暴力最简单，从大往小扫，直到第一个公约数，他就是最大公约数int gcd(int a,int b){ for (int i=min(a,b); a%i!=b%i; i--) if (a%i==b%i) return (i); }辗转相除（递归）这是用了辗转相除的方法，速度快很多 其中 k 为 a%b 的值，即 a÷b 的余数int gcd(int a,int b,in
HDU2685（gcd的定理）
Cai_Haiq的博客
08-30 527
马上区域赛网络赛了，整理了一些公式，本题是一个公式的模板题。 公式： gac(am−bm,an−bn)=agcd(m,n)−bgcd(m,n)gac(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{gcd(m,n)}-b^{gcd(m,n)} 公式变形： gcd(am−1,an−1)=agcd(m,n)−1gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1 直接套公式做就好了 cod
求最大公约数gcd
让，
01-27 286
求解最大公约数常用欧几里得算法即辗转相除法 a / b =k....r 则 a=kb+r a与b的最大公约数 就是b与r的最大公约数 r=a%b 即 gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 0与任何数a的最大公约数是其本身，gcd（a，0）=0 所以辗转相除的时候的边界即为b为零的时候.当传入的数据不是a>b的时候，第一步递归会调整位置 int gcd(int a...
【Math】最大公约数（gcd）
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最大公约数 gcd最大公约数欧几里德算法多个数的最大公约数最小公倍数两个数的多个数的扩展欧几里得定理证明 最大公约数 最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。 一组数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。而最大公约数，则是指所有公约数里面最大的一个。 那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。 欧几里德算法 如果我们已知两个数 aaa 和 ...
最大公约数gcd（）
IT-Why
08-30 567
C++最大公约数递推法求法 参数不分大小前后int gcd(int m, int n) { if (m > n) { swap(m, n); } while (m > 0) { int c = n % m; n = m; m = c; } return n; }
A - 最大公约数GCD
三哥今天没AC
07-21 255
题目描述 输入2个正整数A，B，求A与B的最大公约数。 Input 2个数A,B，中间用空格隔开。(1&lt;= A,B &lt;= 10^9) Output 输出A与B的最大公约数 Sample Input 30 105 Sample Output 15   虽说我是个小白但是这是个水题，你看看完我这个之后也会这么认为～～～！ 就是记住公式就行了！ #include...
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