结论1
gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1
证明:
采用数学归纳法。
令a=kb+pa=kb+pa=kb+p, 则有gcd(xa−1,xb−1)=gcd(xkb+p−1,xb−1)=gcd(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd(xp−1,xb−1)=gcd(xb−1,x(amod  b)−1)\gcd(x^a-1,x^b-1)=\gcd(x^{kb+p}-1,x^b-1)=\gcd(x^p(x^{kb}-1)+x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^b-1,x^{(a\mod b)}-1)gcd(xa−1,xb−1)=gcd(xkb+p−1,xb−1)=gcd(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd(xp−1,xb−1)=gcd(