【学习笔记】关于最大公约数(gcd)的定理

本文探讨了最大公约数(gcd)的两个重要结论,包括gcd(xa-1, xb-1)与xgcd(a, b)的关系,以及gcd(Fib(a), Fib(b))与Fib(gcd(a, b))的等价性。通过数学归纳法证明了这些结论,并展示了这些理论在Fibonacci数列中的应用。结论指出,对于gcd(a, b) = 1的递推关系式,有gcd(f(a), f(b)) = f(gcd(a, b))。" 133158437,19671514,Math.random()在JavaScript中是否包含0的值,"['javascript', '编程', 'ecmascript']

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结论1

gcd⁡(xa−1,xb−1)=xgcd⁡(a,b)−1\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1gcd(xa1,xb1)=xgcd(a,b)1
证明:
采用数学归纳法。
a=kb+pa=kb+pa=kb+p, 则有gcd⁡(xa−1,xb−1)=gcd⁡(xkb+p−1,xb−1)=gcd⁡(xp(xkb−1)+xp−1,xb−1)=gcd⁡(xp−1,xb−1)=gcd⁡(xb−1,x(amod  b)−1)\gcd(x^a-1,x^b-1)=\gcd(x^{kb+p}-1,x^b-1)=\gcd(x^p(x^{kb}-1)+x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^b-1,x^{(a\mod b)}-1)gcd(xa1,xb1)=gcd(xkb+p1,xb1)=gcd(xp(xkb1)+xp1,xb1)=gcd(xp1,xb1)=gcd(

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