最大公约数的一些定理

本文概述了多个重要的数论基本定理及其推论,包括最大公约数、最小公倍数、实数运算等核心概念,适用于初学者了解数论基础知识。

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原文地址:http://blog.youkuaiyun.com/zzxyyx_1/article/details/8639552

定理1:gcd(a,b)能整除所有a,b的公因子。

定理2:若d=gcd(a,b)那么gcd(a/d,b/d)=1。

定理3:gcd(a,b)=gcd(a+cb,b)。

定理4:gcd(a,b)是ax+by中最小的正整数。

推论4.1:若gcd(a,b)=1,那么存在x,y使得ax+by=1。

定理5:gcd(a1,a2,....an)满足交换律和结合律(可以用分治法nlogn求出)。

定理6:如果x,y是实数,那么max(x,y)+min(x,y)=x+y。

定理7:对于有理数x,存在唯一互质的两个数a,b使得x=a/b。

推论7.1:对于无理数x,不存在互质的两个数a,b使得x=a/b。

           证明:假设x=sqrt(2)是有理数,那么x=a/b,x2 =a2 /b2 ,2b2 =a2 。

                     由于2|a2 ,那么2|a,设a=2c,故b2 =2c2 。

                     因此2|b2 。然而gcd(a,b)=1,产生矛盾。

定理8:设a为多项式xn +Cn-1 xn-1 +...C1 x +C0 的根,其中系数C0,C1...Cn为整数。

              那么a或者为整数,或者为无理数。

定理9:若n是正奇数,那么n=a*b=s2 - t2 ,且是一一对应的。 

                  其中s=(a+b)/2,t=(a-b)/2。

定理10:费马数Fn的每个素因子都形如2n+2k+1。

定理11:F0*F1*F2*...Fn-1=Fn-2。

定理12:a1x1+a2x2+...+anxn=c有解当且仅当gcd(a1,a2...an)=1。


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