55、Gemini：适用于多样环境的弹性零知识证明系统

Gemini：适用于多样环境的弹性零知识证明系统

在密码学和区块链等领域，零知识证明系统的性能和效率至关重要。本文将介绍一种名为Gemini的弹性零知识证明系统，它在不同环境下都能展现出良好的性能。

1. 单变量求和检查协议

在构建零知识证明系统时，单变量求和检查协议是一个重要的组成部分。基于维护栈和增量计算系数的成本，每一轮协议需要 $O(N)$ 的时间和 $O(log N)$ 的空间。经过 $O(log N)$ 轮后，整个协议需要 $O(N log N)$ 的时间和 $O(log N)$ 的空间。

目前，文献中存在其他单变量求和检查协议，但它们并不适用于当前的场景。例如，[Ben+19] 中的协议是一个单消息的概率交互证明系统（PIOP），证明长度为 $O(N)$，查询复杂度为 $O(1)$。然而，由于使用了快速傅里叶变换（FFT），证明者需要 $O(N log N)$ 的时间和 $O(N)$ 的空间。相比之下，当前协议通过牺牲对数级的轮复杂度和查询复杂度，实现了弹性。

2. 弹性非全息R1CS的PIOP

我们基于弹性标量积协议，为约束系统（R1CS）构建了一个弹性的PIOP。该协议的验证者复杂度较高，但可以使用与弹性证明者类似的技术来实现弹性验证。后续将在此基础上构建一个全息多项式交互证明系统（IOP），以降低验证者的复杂度。

2.1 定理参数

对于任意有限域 $F$，存在一个适用于 $RR1CS$ 的PIOP，其参数如下：
| 参数 | 详情 |
| ---- | ---- |
| 稳健性误差 | $O(N/|F|)$ |
| 轮复杂度 | $O